3次正方行列が対角化不可能になる条件

質問

3次正方行列A

A= (2 a 1)
(1 2 1)
(0 0 1)

Aが対角化不可能であるとき、パラメーターaの満たすべき条件を求めよ。

という問題です。

また、Aが対角化できない場合のaに対して、AのJordan標準形を求める問題もその続きに
ありますけれども、
Jordan標準形っていうのはAを上三角化してできた行列のことですか？

対角化不可能な3次正方行列はどんな行列なのかわからなくて、問題が進められません。
上三角化ならなんとかできます。

では、ご指導よろしくお願いします！

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

う～ん、何とも微妙な。

＞ Jordan標準形についてはネットでいろいろ調べて大体のイメージが付きましたけれど、

の結果が

＞ Jordan標準形っていうのはAを上三角化してできた行列のことですか？

では、まだまだ演習問題をやる段階まで来ていないような気はするのだけれど…
問題の解答としては、A No.1 補足に書かれた質問氏の解法で完璧だからなあ。
固有値が重根になることが必要なことも、それでけでは十分でないことも、
ちゃんと解かっているじゃないですか。
簡単な解法が知りたいという質問意図は、あまり感心しないけれど。

お礼

(a 1 0)
(0 a 1)
(0 0 a)
のような形をしている行列のことをJordan細胞と言って例に挙げた行列を
J(a,3)とあらわします。
行列を全部Jordan細胞J(n,n)であらわすようなものをJordan標準形というんですよね。

そうですか、簡単な解法はなかったのですか...
ありがとうございました！

回答No.4

Tacosan

うぅ～ん, 本質的にそうするしかないと思うんだな～.

一応「最小多項式が重根を持つ」というのが必要十分だったと思うけど, これを試すためには結局固有多項式を因数分解するわけだし.

お礼

そうですか、やはりもうちょっと簡単な解法はなかったですか...
ありがとうございました！

回答No.2

alice_44

＞ Jordan標準形っていうのはAを上三角化してできた行列のことですか？

具体的な問題を質問する前に、最低限、自分でやっとくべきことがあるはず。
質問サイトに投稿できる環境があるなら、"Jordan標準形" を googole で
検索することはできるよね？ というか、教科書で Jordan標準形 について
読まないうちに、「Jordan標準形を求めよ」という問題を解いてどうするの？

対角化不可能な行列ってのは、一般固有ベクトルの中に固有ベクトルじゃない
ヤツがある行列のことですよ。

お礼

ありがとうございます。
一応指定の教科書はないので、ネットで調べるようにしています。
Jordan標準形についてはネットでいろいろ調べて大体のイメージが付きましたけれど、
一応自分の理解が間違ってないかと確認のために描きました。ですから、質問するとき
に主な問題文に入れないようにしています。
本当に知りたいのはaの値の求め方です。行列はどんな場合に対角化可能なのかどんな場合に対角化不可能なのかというのは存じていますが、普通にパラメータのない行列が与えられれば対角化でも上三角化でもすぐできます。雑なやり方でやればa=1（だろう）と求まります。
この手の問題の簡単なしかも通用できそうやり方を教えていただきたいと思います。

回答No.1

Tacosan

逆に, 3次正方行列はどういうときに対角化可能でしょうか?

お礼

互いに1次独立な固有ベクトルを3個持つことですよね。あ
aを残したまま|A-λE|=0を計算して特性方程式が重解を持つように
解いたらa=1,0でした。
a=1とa=0でそれぞれ代入して計算したら、a=0はダメでa=1はokでした。
でも、このやり方はちょっと面倒くさいし、他に同じような問題がでたら
この解き方は必ずしも通用しないと思うので、もっと簡単なこの手の問題
に通用しそうな解き方を教えていただきたいと思います。