n次正方行列Aに関して次の[１]～[５]はすべて同値であることを証明せよ。

質問

n次正方行列Aに関して次の[１]～[５]はすべて同値であることを証明せよ。
[1] Aは正則
[2] |A|≠0
[3] rank A = n
[4] Aのn個の列ベクトルは１次独立。
[5] AB = Eを満たすｎ次正方行列Bが存在する。

　[１]→[２]　Aが正則であるから、Aには逆行列が存在し、AA^-1＝Eとなる。
|AA^-1|=|E|より、|A||A^-1|＝1≠０となり、|A|≠０であることがわかる。
∴　Aが正則ならば|A|≠０である。

[２]→[３]　P、Qを正則行列として、
PAQ＝(Er 0 0 0) としたとき
Aがｎ次正方行列なので、P、Q　および右辺の行列もｎ次の正方行列である。
|A|≠０より|PAQ|≠０で(Er 0 0 0)≠０となり、ｒ=ｎなり、rankA=ｎが言える。
∴　|A|≠０ならば、rankA=ｎである。

[３]→[４]　Aがｎ次正方行列でrankA=ｎより、
Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にｎ行ｎ列の単位行列にできる。
よって、単位行列のｎ個の各列ベクトルは、単位基底であるので１次独立である。
∴　rankA=ｎならば、Aのｎ個の列ベクトルは１次独立である。

[４]→[５]　Aの列ベクトルをa1、a2、・・・、 anとする。
また、x1、x2、・・・・・、xnをスカラーとして、x1a1+x2a2+・・・・+xnan=０・・・(1)とする。
a1、a2、・・・・、anが１次独立であるので、(1)式中のｘi(i=1、2、・・・ｎ）はすべて０となる。
このとき|A|=０であると、ｘiが自明な解以外の解を持ってしまうので
|A|≠０である必要がある。|A|≠０であれば、A^-1が存在し、AA^-1=Eとなる。
このとき、A^-1＝Bとすれば、AB=Eとなる。
∴　Aのｎ個の列ベクトルが1次独立ならば、AB=Eを満たすｎ次正方行列Bが存在する。

[５]→[1]　AB=Eより、|A||B|=1　つまり|B|≠０。このことよりBC=Eとなる行列Cが存在する。
C＝EC＝(AB)C＝A（BC)＝AE＝A。
ここで、BA=Eであることがわかる。
AB=EのBとBA=EのBが同じであり、Aに対して、Bが１つしか存在しない。
よって、BがAの逆行列であることがわかる。
Aに逆行列が存在するということは、Aは正則である。

∴　AB=Eを満たすｎ次正方行列が存在すれば、Aは正則である。

上記のように解いたのですが、証明できていますでしょうか？
アドバイスお願い致します。

回答No.2

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。

[2]→[3]
適当なn次の正則行列P,Qが存在して
PAQ＝(Er 0 0 0)
とできる。
[1]→[2]より　正則行列ならばその行列式も０ではないから、|P|≠0,|Q|≠0.また、|A|≠０より|PAQ|＝|P||A||Q|≠０で(Er 0 0 0)≠０となり、ｒ=ｎなり、rankA=ｎ　となる.
∴　|A|≠０ならば、rankA=ｎである.

[3]→[4](証明の方針)
Ａのn個の列ベクトルが線形従属ならば、どれか１つの列ベクトルが他のn-1個の列ベクトルの自明でない線形結合で表される.
つまり、Ａの列基本変形により第n列が0ベクトルであるように変形できる。これはrankA=n に矛盾.したがって、Aのn個の列ベクトルは線形独立.

[4]→[5](証明の方針)
Aの列ベクトルが線形独立ならばn個の未知数に関するn個の一次方程式系(AX=0)は自明な解しかもたない。
また、適当な正則行列Ｂが存在して
AB=E_r (r = rank A)とできる。このときr<n ならば、一次方程式系AX=0　は自明でない解をもつことになるから矛盾。したがって、AB=E を満たす正方行列Bが存在する。

[3]→[4],[4]→[5]は証明の方針なので、レポートなりテストの答案に書くときはもっと詳しく書いたほうがよいです。

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
説明不足でした。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

回答No.3

guuman

正則の定義
階数の定義
を補足に書け

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
説明不足でした。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

回答No.1

koko_u_

>[２]→[３]　P、Qを正則行列として、
>PAQ＝(Er 0 0 0) としたとき
rank の定義によるけど、微妙だなあ。

>[３]→[４]　Aがｎ次正方行列でrankA=ｎより、
>Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にｎ行ｎ列の単位行列にできる。
>よって、単位行列のｎ個の各列ベクトルは、単位基底であるので１次独立である。
明らかに適当すぎます。「わかってる」としても証明としてはダメだと思われます。

>[４]→[５]
まったくダメです。どんどんダメになっていってる。
「|A|≠０であれば、A^-1が存在し、AA^-1=Eとなる。」今まさに |A| ≠ 0 の時に逆行列が存在することを示さんとしていることを思い出しましょう。

>[５]→[1]
同じくダメです。

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。