3次正方行列の問題です

質問

次の行列Aに対して、AX=E　を満たす３次正方行列Xが存在するならばそれを求めよ。
　　A=( 1 0　-1)
　　　　( 0 2 1)
　　　　(-2 1 0）

２次正方行列のときのΔの求め方はわかるのですが、３次になるとわからないんです。

どなたか、公式から載せて教えてくださいませんか？

回答No.3

adinat · ベストアンサー

余因子展開してもいいですが、３次ならΔの公式があります。サラスの展開公式というんだっけな、名前はどうでもいいですが。

まず右斜め下に向かって、掛け算します。三回やって全部足します。
1*2*0 + 0*1*(-2) + (-1)*0*1
今度は左斜め下に向かって掛け算したやつを全部引きます。
- 1*1*1 - 0*0*0 - (-1)*2*(-1)
あとは合計して、-1-2=-3 というわけです。

２次の行列の場合と非常に似ていると思いませんか？右斜め下にかけて、左斜め下にかけたやつを引くのだから。そういうわけで記憶も容易だと思います。

なお４次以上の行列ではこのような公式で行列式Δを求めるのは不可能で、余因子展開などを用いる必要があることには注意しておきましょう。

回答No.4

k_yuu01

面倒ですが２次でも４次でも逆行列を求める方法があります。

与えられた行列の右に単位行列をくっつけ、左側が単位行列になるように変形させます。左側が無事単位行列になれば右側にでてきた行列が逆行列です。

例えば
(1,3)
(4,2)　ならば

(1,3,1,0)　→ (1,0,-2/10, 3/10)
(4,2,0,1)　→ (0,1, 4/10,-1/10)
となりますので、
逆行列は
(-2/10, 3/10)
( 4/10,-1/10)　と求まります。

計算に間違いがなく、かつ時間の許す限りであれば逆行列を求めることが出来るのですが、かなり面倒です（汗

回答No.2

y_akkie

この場合は掃き出し法を使って、実際に逆行列を求めてみた方が早いのでは
ないでしょうか？この方法であれば逆行列の存在の有無についても把握する
事ができますし…。
もし、掃き出し法をご存知でなければ、以下のＵＲＬを参照して下さい。

参考URL：

http://yonex1.cis.ibaraki.ac.jp/~yonekura/math/page4.html

回答No.1

misan007

要するにＡの行列式が０か
どうか判断して
Ａの逆行列を求めるんですね？

Δを求めると言うことは余因子展開で求めるということですか？
教科書やググってみれば余因子展開の公式は
いろんなとこにのっていると思いますよ。

お礼

余因子展開の公式っていうんですか！
３次正方行列としか調べてなかったので、知りたい公式が出なくてこまってたんですが、余因子展開の公式って調べたらありました！

助かりました、ありがとうございます。