（Ａx,y）=0ならＡは零行列なのはなぜ？

質問

n次正方行列Ａに関する内積の問題です。今まで当たり前のように思ってきたのですが証明できませんでした。知っておられる方、教えてください。

（ｘ,y）=「x」と「yの複素共役」の積を足したもの（内積）

回答No.2

ONB

任意のx,yに対して（Ａx,y）=0
なら
Ａは零行列

ということですよね。

そういうものとして証明の概略を説明します。
まずxは固定しておきます。
どんなyと内積をとっても0になるということは、Axが0ということです。
つぎに、今固定していたxはどんなベクトルでもよかったので、どんなxにかけてもAx=0となるということがわかり、そんな行列は零行列だけです。

補足

みなさんありがとうございました。条件を付け忘れた感じですので再投稿いたします。すみません。

回答No.1

Mr_Holland

よく分からないのですが、他に条件はないのですか？
　質問に記載されている内容だけでしたら、ゼロ行列以外でも「（Ａx,y）=0」を成立させる例があります。
　　ｘ＝(1)、ｙ＝(-1)、Ａ＝(0 -1)
　　　　(0)　　　( 0)　　　(1 0)