非正方行列でのクラメルの公式

質問

非正方行列（nxn正方行列ではない場合）の連立1次方程式の解をクラメルの公式を用いて解く場合は、正しくはどうすればよいのですか？

例えば下の問題の解法です。
-----------------------------------------------------------
2X + 2Y = 1
X - 4Y = -1
X + 6Y = 2
4X - 6Y = -1

【正解: X = 1/5, Y = 3/10】
-----------------------------------------------------------
まず連立方程式の等号より前の部分（左辺）である

| 2 2 |
| 1 -4 |
| 1 6 |
| 4 -6 |

これを転置行列で下のような2x2正方行列に直します。

| 22 -18 |
|-18 92 |

次に連立方程式の等号より後ろの部分（右辺）である

| 1 |
|-1 |
| 2 |
|-1 |

これを2行に直さなければいけないので、

| 2 1 1 4 |
| 2 -4 6 -6 |

と掛けて、

| -1 |
| 24 |

にしました。（ここが特に微妙です・・・これは正しい方法なのでしょうか？）

これらを使って、クラメルの公式に当てはめると、

X = 1/1700 * A
A =
| -1 -18 |
| 24 92 |

すると、X = 1/5

Y = 1/1700 * B
B =
| 22 -1 |
|-18 24 |

すると、Y = 3/10

-----------------------------------------------------------
このように正解が導けました。しかし、このやり方は正しいのでしょうか？
手持ちの教科書には、nxn正方行列の方法しか載っていません。
どなたか教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#101087 · ベストアンサー

#1-2 です。

下記 pdf ファイルを見つけました。
page 31/36 4.2 の項をご覧ください。
　http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/edu/em/mom/linear_system/lin_eqs.pdf

お礼

“縦長の長方形行列”として例が挙げられていますね。感動です！
見つけていただき感謝感激です！本当にありがとうございました！

すぐ上にこんなコメントもありますね・・・(+_+;)
↓
“Cramer の公式（実用的ではないが）”

回答No.2

noname#101087

とりあえず例題に限ってみます。

例解では、
　Ax=c
　Bx=d
の両辺に [At,Bt] を掛けて(t は転置)、
　(At*A+Bt*B)x=(At*c+Bt*d)
の形にして解いてるわけで、特に「微妙な」個所はありません。
(細かな吟味はしていないので、解が存在しない場合にどうなるのかは言えません ....)

お礼

なるほど、大変良く分かりました！
No.3のプリントを見て100％納得です。腑に落ちました。スッキリ解決です！
この度は何度も丁寧に解説していただき、本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#101087

未知数の個数(2つ)よりも式の個数(4つ)が多い場合、未知数の個数だけ式を選び出し、(クラーメルで)解きます。
その解を残りの式に代入して、成立つかどうか調べます。
　すべて成立てば、それが解。
　どれか1つでも成立しなければ、解は無い。
というのはいかが？

お礼

早速のご回答ありがとうございました。
んー確かにそれはそうかもしれなのですが、それでは問題の本質が未解決のままのような・・・

連立方程式の数mが未知数nより多いときは（m>n）、どの教科書にも消去法の原理を適用せよ！と書いてあります。
しかし、わたしの専門分野では実際の未知数の前の係数が整数であることは100％ありえないので、
クラメルの公式（だけじゃない変換も含む計算？）を使った方が断然速いのです。

しかし、自分で今使っているこの計算式の数学的確証が欲しいと思っています。
これはおそらく単純なクラメルの公式ではなく、何かを同時にはさんでいると思うのですが、
この上の計算では、一体同時に何をやっていることになるのでしょう？