連立斉次1次方程式が自明な解以外の解を持つ条件の証明

質問

連立斉次1次方程式が自明な解以外の解を持つ条件の証明

お世話になります。
連立斉次1次方程式Ax=0(Aは正方行列、x,0はもちろんベクトル)が自明な解(x=0)以外の解を持つ必要十分条件が、detA=0であることの証明が分かりません。
detA≠0の場合は逆行列を持つので、Ax=0の両辺に左から逆行列をかけてx=0になるのは分かります。
よってdetA=0が必要条件なのは証明できますが、十分条件が分かりません。
どなたかご教授お願いします。

回答No.5

post_iso · ベストアンサー

＃１、３です

基本行列は３つ性質をもつ行列で、左からかけた場合
(1)i行目をα≠0倍する
(2)i行目とj行目を入れ替える
(3)i行目をβ倍した行をj行目に加える
となる行列のことです。

たとえば、３次の行列
{a,b,c}
{d,e,f}
{g,h,i}
に対し
(1)
{1,0,0}
{0,1,0}
{0,0,4}
を掛けると
{a ,b ,c }
{d ,e ,f }
{4g,4h,4i}
になり、３行目が4倍されます。
１行目、２行目も同様です

次に
(2)
{0,0,1}
{0,1,0}
{1,0,0}
を掛けると
{g,h,i}
{d,e,f}
{a,b,c}
のように、１行目と３行目が入れ替わります。

最後に
(3)
{1,0,0}
{2,1,0}
{0,0,1}
をかけると
{a ,b ,c }
{d+2a,e+2b,g+2c}
{g ,h ,i }
になります。

基本行列はみな行列式が０でなく正則な行列で、ガウスの消去法における各ステップの操作を表しています。

お礼

基本行列についての知識が無かったので助かりました！
複数回に渡って解答していただきありがとうございます！

回答No.4

hugen

自明な解(x=0)以外の解を持つ　⇔　Aの列ベクトルが一次従属
Aの列ベクトルが一次独立　⇔　detA≠0

お礼

ありがとうございます。
うーん馬鹿なのか今一理解しきれません。

回答No.3

post_iso

回答者１です。
すいません、間違えていました。修正します

Ax = 0

において、基本行列をいくつか使用し

E_(1)E_(2)…E_(n)A = K

によりAを上三角行列Kに変換する。
この上三角行列Kは、det(A) = 0のため

rank(A) = rank(K) ≠ 正方行列の次数n

となり、対角要素の一番最後a_(nn)を０とすることができる。
したがって、ベクトルxのx_(n)成分に対し

a_(nn)x_(n) = 0

が成り立ち、a_(nn) = 0のためx_(n) ≠ 0とすることができるので

x ≠ 0

とすることができる。

３次の行列で例をとると
{1,a,b}{x} = 0
{0,1,c}{y} = 0
{0,0,0}{z} = 0
みたいにできるから、x ≠ 0ができるということです。

汚い証明しか思いつかずすいません。

お礼

ありがとうございます。
基本行列で上三角行列Kに変換できることが分かりません。
そこをできれば詳しくお願いしたいです。

回答No.2

tsukita

おはようございます。
高校生でしょうか？大学生でしょうか？

大学生で、線型代数を学んでいるなら、少し参考になるかもしれませんので、アドバイスとして回答します。

n次正方行列Ａについて、以下の２つは必要十分条件になっています。
detＡ≠0・・・(1)
rankＡ＝n・・・(2)

このことを用いると、
連立斉次1次方程式Ａｘ＝０が自明な解以外の解を持つ必要十分条件は、rankＡ≠nが成り立つことと言い換えることができます。

rankは，行列Ａを“掃きだしたときに”，Ａの対角成分に並ぶ０でない数の個数のことです。“履きだす”というのは，高校生は“履き出し法”として，大学では“基本変形”として学ぶと思います。
ことばで書くと分かりづらいですので、具体例で考えてみます。

例えば、

行列
（１　３）・・・第１行
（２　７）・・・第２行
について、第２行－第１行×２を施すと
（１　３）・・・第１行
（０　１）・・・第２行－第１行×２
となるので、この行列の階数は２となります。
対角成分がともに１だから、０でないですよね。

因みに，はじめの行列の行列式を計算すると，
1*7-3*2＝1≠0
で(1)と(2)の関係が確かめられます。

また、連立方程式
a+3b=0
2a+7b=0
は、a=b=0ですね。

次に行列
（１　３）・・・第１行
（２　６）・・・第２行
について考えてみます。
この行列の場合、第２行－第１行×２を施すと
（１　３）・・・第１行
（０　０）・・・第２行－第１行×２
となるので、この行列の階数は１となります。
対角成分が２行目では０になっていますね。

また、はじめの行列の行列式を計算すると，
1*6-3*2＝0
連立方程式
a+3b=0
2a+6b=0
は、無数に解を持ちます。

このように，連立方程式とdetだけでなく，
rankを介すると理解し易いと思います。

お礼

大学生です。
具体例で理解はできました。
ありがとうございます。

回答No.1

post_iso

成分が実数であると仮定して証明します。
x≠0として、Ax = 0の両辺に転置をとると

T(x) × T(A) = 0
※T(…)は転置

この式に左からAx = 0をかければ

A(x^2)T(A) = (x^2)AT(A) = 0

x^2≠0より

AT(A) = 0

この式の両辺に行列式をとり、転置行列の行列式はもとの行列の行列式と同じことを使えば

{det(A)}^2 = 0
∴det(A)= 0

※　複素行列の場合、転置の代わりにエルミート共役にすればOKです

お礼

ありがとうございます。

補足

T(x)×T(A)に左からAxをかけると
A(x^2)T(A)になるところが分かりません。
x×T(x)がx^2になるになるのが良く分かりません。
x^2はxとxの内積のことでしょうか？