数Cの問題です！

質問

問題:K個の2次正方行列A1,A2,・・・,Akの中に逆行列を持たないものがあれば、これらの積A1A2・・・Akも逆行列を持たないことを示せ。
という問題なんですが

逆行列を持たない⇔Δ(A)=０なので
逆行列を持たないものが含まれる積の解は０になるので逆行列をもたない。
というのは分かるんですけど、

この問題の模範解答は
背理法でまずA1A2・・・Akが逆行列を持つと仮定して
Δ(A1A1・・・Ak)≠０
よってΔ(A1),Δ(A2)・・・Δ(Ak)はすべて０にならない。
したがってどれも逆行列を持つことになるのでこれは矛盾
よってA1A2・・・Akは逆行列を持たない。
とあります。
質問したいのはこの模範解答の意図(?)です。
逆行列を持つと仮定して、結果どれも逆行列を持つ。
だから矛盾している。よってA1A2・・・Akは逆行列を持たない。

「・・・ん？なんでそこで矛盾と感じたの？自分で仮定したじゃん」
と思いました^^;

私の説明がかなり下手で理解していただけるのか不安ですが
分かる方いましたら教えて下さい。

回答No.2

don9don9

「K個の行列の積が逆行列を持つ」と
「K個の行列が全て逆行列を持つ」を
混同しているように見受けられます。

まず前提として
「K個の行列には、逆行列を持たないものがある」
（これは問題文に書いてありますね）

この「逆行列を持たないものを含むK個の行列」の
「積が逆行列を持つ」と仮定した場合

>逆行列を持たない⇔Δ(A)=０なので
>逆行列を持たないものが含まれる積の解は０になるので逆行列をもたない。

これを使って導かれる結論が（途中は省きますけど）
「K個の行列は、全て逆行列を持つ」
なわけです。

前提の「K個の行列には、逆行列を持たないものがある」と
仮定によって導かれた「K個の行列は、全て逆行列を持つ」という結論
この二つは同時に成り立たないですよね？

だから
「逆行列を持たない行列を含むK個の行列」の
「積が逆行列を持つ」という仮定はまちがっている。
（＝積は逆行列をもたない）ということになるわけです。

回答No.1

rnakamra

模範解答に書かれていることが不足しています。

一番最初に、
A1,A2,…Akが全て逆行列を持たないとする、との前提が入っていません。
最終的にこの前提と矛盾が生じるといっているのです。
仮定に対して矛盾が生じるといっているわけではありません。
仮定をすることで得られる結論が前提と矛盾をすることを示しています。