素数は無数にある！？

質問

素数は無数にあることを証明する際、
背理法を使って、
素数を有限個しかないと仮定して、矛盾を導く際、
a1,a2・・・・ak個あるとすると、
整数a1・a2・・・・・ak＋1　はakより大きいから・・・・・・・
(省略)
＋1はなんですか？？矛盾を導くためにおいたのですか？
よろしくお願いします。

回答No.3

DIGAMMA · ベストアンサー

こんちは、

具体例をあげた方が、分かりやすいと思います。

もし、素数が２と３と５だけだとします。
ところが、（２・３・５）＋１は３１になります。
この３１は、２で割っても、３で割っても、５で割っても、あまりが１になります。（つまり割り切れない・・・これは＋１したせいだな）

ということで、３１は、２でも３でも５でもない新たな素数ということになります。

御参考になれば嬉しいです。

お礼

なるほど、わかりやすく説明していただいてありがとうございました。

回答No.2

BO-BO-keshi

こんばんは！

そうです。矛盾を導くためにおいたのです。証明は

整数a1・a2・・・・・ak＋1はakより大きいのだから素数でないのので合成数である。ところがこの数はa1～akを約数としてもたないので矛盾する。

という流れだと思います。ようは、＋１をつけたのは、a1～akを約数として持たない事を言うためです。

回答No.1

kfir2001

質問の内容に誤りがあります。
「a1,a2・・・・ak個あるとすると」ではなく、
「素数は、a1,a2,…,akと列挙され、a1<a2<…<akとすると」です。

「整数:a1×a2×…×ak＋1」を素数a1やa2で割った時に必ず余りが１になって割り切れないようにするために、１を足すのです。

最大の素数よりも大きくて、どんな素数でも割り切れない整数、つまり新しい素数の存在が証明できたということなので、「素数が列挙できる=素数は有限個しかない」という仮説に矛盾があるという証明になります。