この問題を教えてください。

質問

この問題を教えてください。
問題は
Ａ，Ｂは二次の正方行列でありＡＢ＝Ａ＋Ｂを満たす。また、Ｅは二次の単位行列である。
このとき、Ａ－Ｅは逆行列をもつことを示せ。
です。

回答No.1

noname#137826 · ベストアンサー

AB = A + B ですから

(A-E)(B-E) = AB - A - B + E = E
(B-E)(A-E) = BA - B - A + E = E

つまり、

(A-E)(B-E) = (B-E)(A-E) = E

となります。
つまり、A-E は逆行列を持ち、それは B-E です。

回答No.3

alice_44

No.1 の一本目の式だけでいいんですよ。
あれで証明になっています。

(A-E) に左逆行列 L と右逆行列 R が在れば
L = LE = L(A-E)R = ER = R ですから、
R = B-E が示してあれば、L = B-E も言えます。
どっちか片方だけ示してあれば十分なんです。

結果的には、AB = A + B から AB = BA が言える
ということなのですが、それを説明せずに
いきなり No.1 の二本目の式を書いてしまうと、
行列積が可換でないことに気づかなかったと
解釈されてしまいますから、気をつけましょう。

回答No.2

noname#137826

#1です。
AB = BAを仮定してしまっているので、回答は間違いです。
すみません。