行列の証明問題です

質問

A=[a,b;c,d]がbc≠0かつA^2を=0満たすとき、ad-bc=0であることを示せ。
という問題で背理法で解こうとししたんですけど

ad-bc≠0であると仮定すると
Aに逆行列が存在するから
A^2=0の両辺に左からA^(-1)をかけると
A=0となり
[a,b;c,d]=0であるから
a=0,b=0,c=0,d=0
このことはbc≠0に矛盾する
したがってad-bc=0である

って考えました。合ってるかどうかわからないんで、合ってるかどうか教えてください。

回答No.10

alice_44

A=0 を導いたことは、間違いじゃないんだよ。
ただ、それを bc≠0 との矛盾に帰着したことが、
間違いではなんだけど、スジが良くないだけ。
A No.1 以来、そのことだけを言ってるのだが。

回答No.9

noname#182106

二つの証明？

質問者が A=0 としたところの計算が間違っていたのに合っていると言ってしまったので、 E=0 に訂正しただけです。

大体、あなたは何がしたいんですか。

質問者が「合ってるかどうか教えてください」と言っていて、

その誤答に対し回答者（私）が「合ってます」とミスしてるんだから

「いや合ってない。やり方はいいんだけど、その計算は A=0 でなくて E=0 でしょ。そこを直せばOK」
と指摘すればいいだけ。

質問には答えない。
A=0 を導いたこと自体が質問者の誤答なのに
「A = 0 なら ad - bc = 0 なので、仮定に矛盾する」とか
「二つの証明には、あまり差がない。」とか見当違いなことをグダグダと・・・。

少しは質問者の為に回答してるって気はあるんですか？

回答No.8

alice_44

前に書いたように、A=0 が導けたなら、
そこから ad-bc=0 が出て、仮定に矛盾する。
A No.7 の二つの証明には、あまり差がない。

回答No.7

noname#182106

No.2の回答は誤答です。完全に寝ぼけてました。すみません。
したがって、No.5に関しては同意です。

det A≠0であると仮定するとAに逆行列が存在するから、
A^2=0の両辺に左からA^(-1)をかけるとA=0となり矛盾

はこちら（と質問者）のミスです。

det A≠0であると仮定するとAに逆行列が存在するから、
A^2=0の両辺に左からA^(-1)を2回かけるとE（単位行列）=0となり矛盾

です。

回答No.6

noname#182106

本来質問者以外とやり取りする気はないのですが、

主たる質問が「合ってるかどうかわからないんで、合ってるかどうか教えてください。」

なのに、なぜ最初にそれに答えてあげないんです？

回答No.5

alice_44

ひとつ疑われるのが、bc≠0 は
成分計算のためではないか？ということ。
想定の答案が A2乗 を成分計算するものだと
考えてみると、bc≠0 に使い道が出てくる。

A2乗=0 を成分ごとに分けると、
a2乗+bc=0,
b(a+d)=0,
c(a+d)=0,
d2乗+bc=0.
ここから計算を進めるのは、それこそ
A No.1 を知っていなければ煩雑だが、
bc≠0 であれば、第ニ第三式から a+d=0.
これを第一第四式へ代入すれば、-ad+bc=0.

このような解法は、行列の性質の理解に繋がらず、
計算が完遂できたのも、たった二次の行列の
話だったからに過ぎないから、一般性も欠く。

質問文中の証明のほうが、遥かに優秀なのだが、
他に bc≠0 の用途を思いつかないのだ。

回答No.4

alice_44

もちろん、
「零行列でないAについて」と書く必要も
全くない。

回答No.3

alice_44

いや、
bc = 0 であっても、A が零行列であっても、
A^2 = 0 なら ad - bc = 0 になるし、
質問文中の解法も、
最後を「bc ≠ 0 に矛盾する」でなく、
「A = 0 なら ad - bc = 0 なので、仮定に矛盾する」
とすることで、ほぼそのまま成り立つ。
むしろ、こちらの形のほうが、背理法として定型的で
素直な証明になる。

依然として、bc ≠ 0 を仮定した理由が解らない。
それは、使う必要がない。

回答No.2

noname#182106

合ってます。むしろ問題が不自然です。

この手の問題は

(1) det(AB)=(det A)(det B) → det(A^2) = (det A)^2 だから当たり前

という基本事項を、それを（教科書にはないので）証明なしでは使わないという前提で

(2) det A≠0であると仮定するとAに逆行列が存在するから、
A^2=0の両辺に左からA^(-1)をかけるとA=0となり矛盾

と、あなたのようにやらせたいわけです。
なので普通は問題に「bc≠0」でなく、「零行列でないAについて」と書いときます。
単に出題者が表現を変えてみただけなので、惑わされることはありません。

回答No.1

alice_44

なんで、bc≠0 が要るんだろう？
A^2=0 であれば、
0 = det(A^2) = (det A)^2 = (ad-bc)^2
から ad-bc=0 が言える。