因数分解・・・

質問

次の因数分解をおしえてください！！

1)、a^2(b-c)＋b^2(c-a)＋c^2(a-b)

2)、(a-b)^3＋(b-c)^3＋(c-a)^3

解らなくて困ってます。お願いします。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

愚直にひとつの変数に着目することを、勧めます。
1) も 2) も、a についての多項式と見て整理すると…

a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)
= (b-c)a^2 + (-b^2+c^2)a + (cb^2-bc^2)
= (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)
= (b-c){ a^2 - (b+c)a + bc }
= (b-c)(a-b)(a-c)

(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3
= { a^3 - 3ba^2 +3(b^2)a - b^3 } + (b-c)^3 + { -a^3 + 3ca^2 - 3(c^2)a + c^3 }
= (-3b+3c)a^2 +(3b^2-3c^2)a + { -b^3 + (b^3 - 3cb^2 + 3bc^2 - c^3) + c^3 }
= -3(b-c)a^2 + 3(b+c)(b-c)a - 3bc(b-c)
= 3(c-b){ a^2 - (b+c) + bc }
= 3(c-b)(a-b)(a-c)

真面目に計算すれば、直感も直観も要りません。

お礼

回答ありがとうございます。
私は公式でやれば解けるものだと
思い込んでいたみたいです。
参考になりました。

回答No.2

rnakamra

1),2)ともにaにbを代入すると"0"になります。
よって、因数定理より(a-b)で割り切れるはず...
これを信じて変形します。

1)最終項に(a-b)がありますから、前2項を変形して(a-b)をひねり出す。
前2項はcについての1次式だからCについてまとめればよいかな。

2)第1項に(a-b)がありますから、後ろ2項から(a-b)をひねり出す。
X^3+Y^3の形だから公式に沿って因数分解すると出るはず。

あまりお行儀のよいとき方とはいえないかもしれませんが、先に見通しを立てることは悪いことではないと思います。

お礼

ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.1

mister_moonlight

＞2)、(a-b)^3＋(b-c)^3＋(c-a)^3

a-b＝x、b-c＝y、c-a＝zとすると、x＋y＋z＝0.‥‥(1)
(a-b)^3＋(b-c)^3＋(c-a)^3＝x＾3＋y＾3＋z＾3＝（x＾3＋y＾3＋z＾3-3xyz）＋3xyz＝（x＋y＋z）*（x＾2＋y＾2＋z＾2-xy-yz-zx）＋3xyz＝3xyz＝3（a-b）*（b-c）*（c-a）。　∵　(1)による。

お礼

ありがとうございます。
参考になりました。