f:R^2→Rにおける最大値・最小値の存在

質問

f:R^2→Rをf(x,y)=(x+y)e^(-x^2+y^2)で定義する。
(1)fはR^2において最大値、最小値をもつことを示せ。

【問題集の解答】
x=rcosθ,y=rsinθ(r≧0)とおくと、
f=r(cosθ+sinθ)e^(-r^2)=√2*rsin(θ+π/4)*e^(-r^2),
|sin(θ+π/4)|≦1
また、g(r)=r*e^(-r^2)とおくと、
lim[r→∞]g(r)=0, 0≦g(r)≦1/√(2e), g(1/√2)=1/√(2e)
したがってfはR^2において有界であり、最大値・最小値が存在する。
(注)記号f:R^2→Rは「ｆは集合R^2から集合Rへの写像」を表すもので、「ｆは実数値をとる２変数の関数である」という意味になる。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
質問です。
１、xy座標から極座標へ変換したのは、f:R^2→Rでθだけの関数にしたかったからですか？(今まではｘとｙで２次元ユークリッド空間でしたが、θだけの１次元空間にするために極座標に変換したのですか？）

２、0≦g(r)≦1/√(2e), g(1/√2)=1/√(2e)
と書いてありますが、rの範囲は０より大きいということしかわかってないですよね。もし0≦ｒ≦1/√2だったら0≦g(r)≦1/√(2e)となることは納得できるんですが、ｒの上限が指定されてない状態で、0≦g(r)≦1/√(2e)となることはどうしたらわかるんですか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

１．これは変数を分離する一種のテクニックです。
xとyの関数の状態だとその極値や変化に振る舞いを見るのが難しいので、rだけの関数とθだけの関数の積にすることで評価を簡単にしています。

２．g(r)を微分してみれば良い
g'(r)=(1-2r^2)*e^(-r^2)であるから、r=1/√2で極大になることは簡単にわかります。
後はr>1/√2でg(r)は単調減少、さらにlim[r→∞]g(r)=0ですから上記のことは簡単に示せます。

回答No.2

kabaokaba

んーー高校生もしくは浪人生じゃないのかな？
一連の質問内容を見てると高校生にしか思えないんだけども。。

x^2+y^2の形があるので，
極座標にしてみるというよくある技法です．
＞f:R^2→Rでθだけの関数にしたかったからですか？
θではなくrでしょう？
独立した変数を「分離」できて
厄介な「x+y」を三角関数で評価することで
「θを消せる」ということことです．
あとはrで微分すればいいだけ．

r*e^(-r^2)は一目で最大値・最小値が存在することは
わかります．奇関数だからx>=0だけをみればいいし，
rが大きくなると0に収束するし，
r＝0のときには値は0だし，
rが適当な正の数のときは0より大きい値をとるから
連続だってことを考えれば，かならず最大値を持つ．
x<0のときはこれを180度対称移動すればいい．
もちろん微分したって構わない．

==========
締め切られたからここに書いてみる
「グラフの問題」で「負の数の1/3乗が定義されない」とか
いわれて納得したみたいだけども，間違ってるから注意．
「y=x^3の逆関数の存在」を考えれば
明らかに定義されてるでしょう？
（y=x^3の逆関数はy=x^(1/3)で実数全体は定義域）
実数の範囲だけで考える場合は
(-27)^(1/3)=-3となる．
これは高校の教科書にもでてるよ．
たとえば，今の高校生が使ってる，
数研の数IIの教科書の143ページの「発展」コラム．
ただし，指数法則には適用の条件があって
a<0のときには無邪気に (a^n)^m=a^(nm) とかってできないのに
それをやってしまって混乱がおきるってわけ