3次元空間にある円の最大最小Ｚ座標

質問

3次元空間で、原点（０，０，０）に半径ｒの円があるとき、
この円のＺ座標の最大最小を求めたいのですが、どのように考えればよいか、どなたかヒントをください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>原点（０，０，０）に半径ｒの円があるとき、
原点(0,0,0)を中心とする半径ｒの円があるとき、
と書くべきですね。
円の方程式はXYZ直交座標では2つの曲面（平面を含む）の交線として表されます。つまり、2つの曲面を表す方程式として表わされます。

たとえば、半径r(>0)の球
x^2+y^2+z^2=r^2…(1)
と平面
ax+by+cz=0 …(2)
(これは原点を通る平面の式です)

交線が円になります。

この円に対してzの最大値、最小値を求めたいなら、
円をXZ座標平面（YZ平面でも良い）に円を正投影してやって、
XZ座標平面内に投影された曲線（楕円）でｚの最大値、最小値を求めればよい。

XZ座標面への正投影を求める。
(2)から b≠0であれば、y=-(ax+cz)/b …(3)

(3)を(1)に代入して
x^2+{(ax+cz)/b}^2+z^2=r^2
{1+(a/b)^2}x^2+2(acz/b^2)x+{1+(c/b)^2}z^2-r^2=0…(4)

xの実数条件から判別式D/4≧0なので
(acz/b^2)^2-{1+(a/b)^2}[{1+(c/b)^2}z^2-r^2]≧0
これをz^2について整理すると
z^2≦(a^2+b^2)(r^2)/{(a^2)+(b^2)+(c^2)}
これから
Max(z)=r√[(a^2+b^2)/{(a^2)+(b^2)+(c^2)}]
Min(z)=-r√[(a^2+b^2)/{(a^2)+(b^2)+(c^2)}]

z=Max(z)のとき
x=-acr/√{(a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)}
y=-bcr/√{(a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)}
z=Min(z)のとき
x=acr/√{(a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)}
y=bcr/√{(a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)}

b=0の場合　平面(2)は
ax+cz=0 …(2)'
a≠0の時
　x=-cz/a
(1)に代入
　y^2+{1+(c/a)^2}z^2=r^2
yの実数条件から
y^2=r^2-{1+(c/a)^2}z^2≧0
　z^2≦(r^2)/{1+(c/a)^2}

Max(z)=r/√{1+(c/a)^2}
Min(z)=-r/√{1+(c/a)^2}
z=Max(z)の時　x=-(cr/a)/√{1+(c/a)^2},y=0
z=Min(z)の時　x=(cr/a)/√{1+(c/a)^2},y=0

a=b=0の時
平面(2)は　平面であることからc≠0なので　z=0
このとき
円(1)がXY座標平面上にあり、z=0=一定であるので
Max(z)=Min(z)=0,この時のx,yはx^2+y^2=r^2を満たす任意の(x,y)

お礼

大変わかりやすい解答をありがとうございます。
十分理解できました。

回答No.2

nag0720

＞たとえば　ＸＺ平面上の円をＹ軸回りにθ、Ｘ軸回りにφ 回転している場合はどうでしょうか？

ＸＺ平面上の円の最大最小は、+r,-r
それをＹ軸回りに回転しても最大最小は同じ
Ｘ軸回りにφ回転したときの最大最小は、+r*cosφ,-r*cosφ（-π/2≦φ≦π/2）

回答No.1

noname#198951

原点が(0,0,0)ならば、そこから+にr分、-にr分が最大,最小になるので、原点がZ軸に0なら最小は0-r、最大は0+rでしょう。
原点からrの距離を+と-で計算すれば最小,最大は出ると思います。

補足

すみません。言葉が足りなかったようで。
３次元上の円なので、円を含む面の法線ベクトルは、当然軸並行ではありません。　円が、ＸＺ平面や、ＹＺ平面上にあれば、単純な話ですが、たとえば　ＸＺ平面上の円をＹ軸回りにθ、Ｘ軸回りにφ 回転している場合はどうでしょうか？

ヒントでも結構ですのでよろしくお願いします。

円の中心は、座標原点でかまいません。