条件が与えられた時の最大値、最小値

質問

（１）条件x^2-2xy+3y^2=6の下でのx^2+2y^2の最大値と最小値を求めよ。

（２）D:x^2-2xy+3y^2≦6におけるe^{-(x^2+2y^2)} の最大値と最小値を求めよ

ラグランジュの乗数法を使うのがいいみたいですが
ラグランジュで解けなかったので違う解き方をしました。
答えが無いのでこの回答で良いか答えが正解が見てもらえませんか。

(1)(x-y)^2+2y^2=6
x-y=√6cosθ ,y=√3sinθとおく。 これを満たすθが存在する。
x^2+2y^2 にx,yを代入して
x^2+2y^2=3√2sin2θ+9sin^2θ+6cos^2θ
2倍角の公式を使って、
=15/2+3√2sin2θ-3/2cosθ
=15/2+9/2sin(2θ-α) cosα=2√2/3 sinα=1/3

|sin(2θ-α)|≦1より 最大値12 最小値3

(2) (1)と殆ど同じやり方で
x-y=√6rcosθ y=√3rsinθ
DはE 0≦θ≦2π 0≦r≦1 にうつる
rが加わっただけなので
x^2+2y^2=r^2(15/2+9/2sin(2θ-α))
(1)よりMax12 Min3 を代入すると
1/e^12r^2 , 1/e^3r^2 を得る。
0≦r≦1 より 1/e^12<1/e^3<1

したがって、 最大値1 最小値 1/e^12

こちらで間違いはないですか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1),(2)とも答えは合ってるね。
但し、（確認の意味でも）最大値と最小値を撮る時の(x,y)をそれぞれ求めておいた方がいいね。

ラグランジュの未定乗数法での解法
(1)
ラグランジュの未定乗数法を適用して解く。

f(x,y)=x^2 +2y^2, g(x,y)=x^2-2xy+3y^2-6=0
F(x,y,t)=f(x,y)-tg(x,y)
停留点が次の連立方程式を解けば求まる。
Fx(x,y)=2x-t(2x-2y)=0
Fy(x,y)=4y-t(-2x+6y)=0
g(x,y)=x^2-2xy+3y^2-6=0
解くと
(t,x,y)=(1/2,1,-1),(1/2,-1,1),(2,2√2,√2),(2,-2√2,-√2)
f(1,-1)=f(-1,1)=3, f(2√2,√2)=f(2√2,√2)=12

g(x,y)=0は楕円なので g(x,y)を満たすx,yは有界。従って

極小値のうち最小のもの「3」が最小値
(x=1,y=-1またはx=-1,y=1 のとき)

極大値のうち最大のもの「12」が最大値
(x=2√2,y=2√2 または x=-2√2,y=-√2 のとき)

(2)
(1)と同じようにやってみて下さい。

回答No.1

eclipse2maven

多分あっていると思います。

うーーんっと　　√２ｙをｙに置き換えると

x^2+2y^2　は　x^2+y^2　になるので　原点からの距離の2乗になります

一方　x^2-2xy+3y^2=6　は　2x^2-2√2xy + 3y^2=12 になります。　これに付随する対称行列は、正定値で、固有地は１と４　だから　x^2 + 4y^2 =12 という楕円に回転したらなります。　原点からの距離の2乗は　３　が最小　１２が最大です。

（２）　は　明らかですよね。