微分の問題
問題 eは自然対数の底し、f (x) = e^(x + a) - e^(-x +b) - c (a,b, c)は定数とするとき、曲線 y= f (x) は、その変曲点に対して対称であることを示せ。
y' = e^(x + a) + e^(-x + b), y'' = e^(x + a) - e^(x + b) となるのですが、これを導く式を教えてください。(e^x)' = e^x となるのは分かるのですが、それだと、y' = e^(x + a) - e^(-x +b) となるのではないのでしょうか。
> y'' = 0とすると、e^(x + a) = e^(-x + b) ゆえに、 x + a= -x + b, よって、x = (b-a)/2
ここで、p = x = (b-a)/2 とする。 また、y'' = e^(x + a) - e^(x + b) より、y'' ={ e^(2x+a) - e^b } / e^x
x > p のとき、2x > 2p = b-a から、 2x + a > b ゆえに、y'' > 0 さらに、x > p のとき、下に凸。
x < p のとき、2x < 2p = b-a から、 2x + a < b ゆえに、 y'' < 0 さらに、x < p のとき、上に凸。
よって、f (p) = e^(p + a) - e^(-p + b) + c = c であるから、変曲点は、(p, c)である。
ゆえに、曲線 y=f (x) を x軸方向に、-p, y軸方向に、 -c だけ平行移動すると、
y=f (x + p) - c = e^(x + p + a) - e^{-(x + p) + b} + c - c = e^{x + (a+b)/2} - e^{-x + (a+b)/2}
この曲線の方程式を y= g(x) とすると、
g (-x) = e^{-x + (a+b)/2} - e^{x + (a+b)/2} = -g (x) = -[e^{x + (a+b)/2} - e^{-x + (a+b)/2}]
よって、g(-x) = g(x) が成り立つから、曲線 y=g(x) は原点に関して、対称である。
したがって、曲線 y=f(x) は、その変曲点に関して対称である。 終
ここで、質問なのですが、g (x) のグラフが原点に関して、対称であるというのは、原点をはさんで、x <0 の区間と、x < 0 の区間のグラフが、原点に対して対称移動するときれいに重なるといったように、解釈してよろしいのでしょうか。
それからその際、g(-x)=-g(x) がなぜ、原点に関して対称だということを意味しているのでしょうか。
詳しい方教えてください。
