ロドリゲスの公式とルジャンドルの微分方程式について

質問

ロドリゲスの公式:
P_l(x)=(1/(2^l l!))(d^l/dx^l)(x^2-1)^l
が，ルジャンドルの微分方程式
(d/dx)((x^2-1)dP_l(x)/dx)+l(l+1)P_l(x)=0
を満たすことはどのようにして示せますか？教えてください。

（式は，
ロドリゲスの公式: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
ルジャンドルの微分方程式: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
が見やすいと思います。）

宜しくお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

今、D=d/dxの意味だとします。
又、J=[0,1]とし、二つの多項式f(x),g(x)に対し、
(f,g)=∫_J fgで定義します。
又、H=D((x^2-1)D)　(演算子)で定義します。
Pm(x)=(1/((2^m)m!))* (D^m)((x^2-1)^m)でした。
示したいのはHPm = LmPm, Lm=m(m+1)です （Lmの
符号を確認してください）

1. m≦lのとき、
(Pm,Pl) = δml * 2/(2l+1) を示します。
Pmがm次式であることに注目して部分積分を
繰り返します。
(Pm, Pl) = ∫Pm (1/(2^l l!)) D^l((x^2-1)^l) dx
= [Pm (1/(2^l 1!)) (D^(l-1))(x^2-1)^l]_J -
∫DPm (1/(2^l l!))D^(l-1)(x^2-1)^l dx
= -∫DPm (1/(2^l l!))D^(l-1)(x^2-1)^l dx
=
...
= (-1)^l ∫D^l P_m * (1/(2^l l!))(x^2-1)^l dx
= δml(-1)^l (1/(2^l l!))^2 (2l)! ∫(x^2-1)^(2l)dx
x^2=1 = (x+1)(x-1)として部分積分を繰り返すと
= δml ((m!)^2 / (2m)!) (1/(2^m m!))^2 (2m)!∫(x-1)^(2m)dx
= δml * 2/(2m+1)

2. (f, Hg) = (Hf, g)を示します。
(f,Hg) = ∫f D((x^2-1)Dg)
= [f * (x^2-1)Dg]_J - ∫Df*(x^2-1)Dg
= [ -g(x^2-1)Df]_J + ∫D((x^2-1)Df)*g = (Hf, g)

3. HPm = LmPmを帰納法で示します。 (Lmはmによって定まる定数）
3.1 m=0 のときPm=1 よりHPm=0 (L_0 = 0とすれば題意に合う）
3.2 m-1までokayとし、mの時
Pmはm次式だからHPm = Σ_{j=0}^m c_j P_jとおける。
k<mにたいして(HPm, Pk) = c_k * (2/(2k+1))となるが、
一方で(HPm, Pk) = (Pm, HPk) = Lk (Pm, Pk) （仮定より）
= 0 よってc_k = 0 (k<m)

よってHPm = LmPm　最高次を比較すれば、Lm=m(m+1)です。

多分どっかに載ってるんでしょうが....

回答No.2

tmpname

J=[-1,1]です。