４５°傾いた座標系への変数変換

質問

ある本で添付の図が示してあり，ｘｙ座標系から４５°傾いたXY座標系へ変数を変換するという式が掲載されています。
その式は，X＝（ｘ＋ｙ／√２）），Y＝（（－ｘ＋ｙ）／√２）と書かれています。

そこで私は，A（１，２）　B（２，２）　C（２，１）　D（１，１）という点を仮定し上記の式を使ってA'，B'，C'，D'への変換を試みました。

A→A’（１，２）→（√２，１）
B→B’（２，２）→（２√２，０）
C→C’（２，１）→（３√２／２，－√２／２）
D→D’（１，１）→（√２，０）

　ところが，上記のA’，B’，C’、D’を座標の上にプロットしても４５°傾いた正方形になりません。
そもそも式がおかしいような気がするのですが，私がどこか勘違いをしているのでしょうか。

　御回答をいただけたら助かります。

回答No.7

kmee · ベストアンサー

極座標は、座標を原点からの距離と角度で表現したものです。

点A(x,y)を極座標(r,θ)と表現したとします。
r=√(x^2+y^2)
であり、θをX軸との角度とすると
x=r・cosθ
y=r・sinθ
となります。

極座標(r,θ)は、X軸(0°)を基準にしたもので(r,θ±0°)の意味でもあります。

X'軸を基準にすると
・原点中心で回転するので、距離rは変わらず
・角度はX'軸からX軸までの45°とX軸からのθを足したもの
なので
(r,θ+45°)
になります。
これがX'Y'座標系での点Aの極座標です。
そして、これは、(x',y')と同じになります。よって
x'=r・cos(θ+45°)
y'=r・sin(θ+45°)
となります。
この後、加法定理を使う等でx,yを使った式に変換していけば、求まります。

お礼

ありがとうございました。
個人的にはこの方法が一番簡単に感じました。
（加法定理で簡単に目的の式が導けました。）

　この方法なら４５°以外でも（使うことはあまりなさそうですが）座標変換できそうです。
何度も丁寧に御回答いただきありがとうございました。

　あわせて，今回御回答いただいた方全員にお礼申し上げます。

回答No.6

kmee

その図からすると、ベクトルは習っていると思います。

XY座標系の(x,y) という座標への、原点からのベクトル Vは
　X軸と平行な単位ベクトルEx
　Y軸と平行な単位ベクトルEy
を使って
　V=x・Ex + y・Ey
と表現できます。

同様に
X'Y'座標系の(x',y') という座標への、原点からのベクトル V'は
　X'軸と平行な単位ベクトルEx'
　Y'軸と平行な単位ベクトルEy'
を使って
　V'=x'・Ex' + y'・Ey'
と表現できます。

VとV'は同じものです
　V=V'
　すなわち
　x・Ex + y・Ey=x'・Ex' + y'・Ey'

ここで、それぞれの単位ベクトルをXY座標系で表現すると
Ex=(1,0)
Ey=(0,1)
※ 正方向=時計回りとすると、通常の回転(正方向=反時計回り)と逆になるので
Ex'=(cos(-45°),sin(-45°))
Ey'=(cos(-45°+90°),sin(-45°+90°))=(-sin(-45°),cos(-45°))

以下、 x',y'について解いていけば、その式になります。

他にも、極座標表現を使う方法もあります。

お礼

非常に明快な説明ありがとうございました。高校で習ったベクトルを使う方法ですので私でも理解することができました。
　ところで，極座標を使うというのはどのような方法なのでしょうか。もしよろしければ教えていただけたら助かります。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

>普通は回転といったら反時計回りのほうを正とし
>時計まわりを負としますが今回は逆なんでしょうか

余談ですが、回転するのが位置ではなくて座標軸の場合、
座標軸の回転方向を反時計回りで正とするのが一般的です。
なので回転とは逆回りになります。

回答No.4

he-goshite-

【書き間違いをしました。訂正します。】

>私がどこか勘違いをしているのでしょうか。

その式（X＝（ｘ＋ｙ／√２）），Y＝（（－ｘ＋ｙ）／√２））
に，代入してみると，

A(1,2):
X=1+2/√２=1+√２
Y=(-1+2)/(√２)= (1)/(√２)= √２/2
故に，A'(1+√２, √２/2）

と，なり，質問者様の　
＞A→A’（１，２）→（√２，１）
とは最初の点から食い違います。

再検討なさってください。

補足

あわてて書いてしまい失礼しました。
Ｎｏ．１の方を始めとする皆様の御指摘のとおり
Ａ→Ａ’（３√２／２，√２／２）の誤りです。
（図も書けました。）

　その上で，Ｘ＝（１／√２）（ｘ＋ｙ），Ｙ＝（１／√２）（－ｘ＋ｙ）
上式によって４５°傾いた座標系への変数変換ができるのはなぜでしょうか。

回答No.3

he-goshite-

>私がどこか勘違いをしているのでしょうか。

その式（X＝（ｘ＋ｙ／√２）），Y＝（（－ｘ＋ｙ）／√２））
に，代入してみると，
A(1,2):
X=1+2/√２=1+√２
Y=(-1+2)/(√２)= (1)/(√２)= √２/2
故に，A'(1+√２, ２√２）

と，なり，質問者様の　
＞A→A’（１，２）→（√２，１）
とは最初の点から食い違います。

再検討なさってください。

回答No.2

anisakis

普通は回転といったら反時計回りのほうを正とし
時計まわりを負としますが今回は逆なんでしょうか
A→A’（１，２）→（√２，１）
とりあえずこの値はどうやってだしましたか

回答No.1

spring135

何年生か知らないけど

X＝（（ｘ＋ｙ）／√２）），Y＝（（－ｘ＋ｙ）／√２）

の計算ぐらい正確にやりなさい。

A'(1.5√2,0.5√2)

B'(2√2,0)

C'(1.5√2,-0.5√2)

D'(√2,0)

絵をかきなさい。