6次関数のグラフから各係数の符号を知る方法

質問

6次関数y=f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g
のグラフがxy平面に描かれているとします。そのグラフから各係数の符号を、計算しないで視覚的に知る方法を考えたいのです。

x≒0のとき、y≒ex^2+fx+gなので、(0,f(0))の近傍でのグラフの様子から視覚的にe,f,gの符号を知ることができます。
つまり、y軸との交点がy>0なら、g>0。
グラフが右上がりなら、f>0。
グラフが下に凸なら、e>0。

|x|が十分大きいとき、y≒ax^6+bx^5≒a(x+b/6a)^6なので、グラフの大域的な様子から視覚的にa,bの符号を知ることができます。
つまり、大域的に「U字型」の形なら、a>0。
大域的に、いわゆるグラフの「軸」がy軸より左にあれば、b/6a>0。

c,dの符号を視覚的に知るようなアイデアがありましたら教えてください。

回答No.1

noname#151558

もしも以下の関数が零点をもつ値が正において2つの異なる実数をもつと"仮定"して
考える。
(2つの異なる実数解を持たない場合は以後載せる予定)

　　　　　　　　　　g(x)=f(x)-f(-x)　(x>0)

　　　　　　　　　　h(x)=(F(x)＋F(-x))/2 (x>0)

とりあえず、dについては
g(x)=2bx^5＋2dx^3＋2fx=2bx(x^4＋(b/d)x^2＋f/b)　

このとき仮定が真だと分かれば
-d/2b>0からdの符号は分かる。(bはこのとき既に定まっている)
x^2＝tとしてy=t^2＋(b/d)t＋f/bについてのグラフ(t>0)を考えれば分かる。

cについて f(x)をy方向にgだけ平行移動した関数をF(x)とおいて
h(x)=(F(x)＋F(-x))/2 (x>0)と定義する。
そうするとh(x)は
(x,f(x)-g)と(-x,f(-x)-g)を結ぶ線分とy軸との交点をなす値であることは確か。
h(x)=ax^6＋cx^4＋ex^2=ax^2(x^4＋(c/a)x^2＋(e/a))
同様に仮定が真だと分かれば
-c/2a>0からcの符号は決定できる。

※g(x)については(x,f(x))をx>0で任意に固定して、その点が通るようにx軸との平行線を作って
曲線f(x)上の点(-x,f(-x))が平行線上の点(-x,f(x))より上にあればg(x)>0
下にあればg(x)<0
このような行いをx>0をいろいろと変えて試す。(xを小さいところから大きいところへ何箇所かプロットすればやりやすい)
コツとしてはg(x)はxについて連続関数なので中間値の定理から
g(x)の符号がプロットした点において正から負のような状態が2つ見つかればOK

h(x)については(x,f(x)-g)と(-x,f(-x)-g)を結ぶ線分とy軸との交点をなす値が
正から負のような符号が変化するような状態が2つ見つかればOK