行列について教えてください。

質問

こんにちは、

ブルーバックス「相対論の再発見」ｐ１００を見ますと、ピタゴラスの定理を行列で表すと

距離は、
r^2=g_xx x^2 +2 g_xy xy +g_yy y^2

で、計量は、行列で

g_ij=

(g_xx g_xy ) =(1 0)
(g_yx g_yy ) (0 1)

と表せる。とあります。

g_ijは、（わかり難いですが）４行４列の行列を表してます。

すると、つまり

r^2=
(g_xx g_xy ) ×　(x^2 xy )
(g_yx g_yy ) 　　(yx y^2 ) ――― 式（１）

=
(g_xx 　 x^2 　 g_xy xy)
(g_yx 　 yx 　g_yy y^2 ) ――――　式（２）

= g_xx x^2 +2 g_xy xy +g_yy y^2　　―――式（３）

となり、式（２）と式（３）が等しいとしても構わないのでしょうか？

すると、一般的に

(a c )
(c b )

の４行４列の行列は、　= a+b+2c

として良いのでしょうか？

回答No.3

shiara · ベストアンサー

式（1）は、行列×行列を表しているようですが、r^2を行列で書き表すと、こうではなく、以下のようになります。

r^2 = (x,y)|g(xx) g(xy)||x|
_____________|g(yx) g(yy)||y|

テキストでは行列は書き表しにくいのですが、右辺は、1行2列のベクトル×2行2列の行列×2行1列のベクトルです。（_は、2行目の頭をそろえるのに入れたものです。）
この式で、g(xy)とg(yx)が等しいことから、式（3）になります。
　なお、式（1）から式（2）の計算で、各要素ごとに掛け算をされているようですが、足し算ではありませんので、各要素ごとの掛け算にはなりません。

お礼

お返事ありがとうございます。

よく読みますと、理解できました。

補足

お返事ありがとうございます。

すいません。下記の意味がよくわかりません。再度、ご教示頂きましたら幸いです。

なお、式（1）から式（2）の計算で、各要素ごとに掛け算をされているようですが、足し算ではありませんので、各要素ごとの掛け算にはなりません。

回答No.2

nabla

最後の作業で縮約をとっているだけです。
添え字が同じになっているでしょう。

補足

式（２）は、行列ですが、式（３）は、一般的な式です。

両者を、イコールとしてよいのでしょうか？

回答No.1

shiara

式（1）、式（2）の書き方が分からないので、分かるように書いて頂ければ解答できると思います。
　ブルーバックス「相対論の再発見」は見ていませんが、そこで言っていることを（記載方法として）分かりやすく書くと、こういうことです。添字と座標の記号が同じなので、分かりにくい記載になっています。添字は括弧でくくって、間に掛け算の記号として「*」を入れてみましょう。

r*r = g(xx)*x*x + g(xy)*x*y + g(yx)*y*x + g(yy)*y*y

　ピタゴラスの定理では、

r*r = x*x + y*y

ですから、

g(xx)=1
g(xy)=0
g(yx)=0
g(yy)=1

となります。g_ijは４行４列の行列とのことですが、ここの記載だけを見る限りでは、2行2列になっています。

補足

こんにちは、再質問します。

ブルーバックス「相対論の再発見」ｐ１００を見ますと、ピタゴラスの定理を行列で表すと

距離は、
r^2=g_(xx)*x^2 +2*g_(xy)*xy +g_(yy)*y^2

で、計量は、行列で

g_ij=

(g_(xx) g_(xy) ) =(1 0)
(g_(yx) g_(yy) ) (0 1)

と表せる。とあります。

g_ijは、（わかり難いですが）2行2列の行列を表してます。

すると、つまり

r^2=
(g_(xx) g_(xy) ) *　(x^2 xy )
(g_(yx) g_(yy) ) 　　(yx y^2 ) ――― 式（１）

=
(g_(xx) *x^2 　 g_(xy)*xy)
(g_(yx)* yx 　g_(yy)*y^2 ) ――――　式（２）

= g_(xx)*x^2 +2 g_(xy)*xy +g_(yy)*y^2　　―――式（３）

となり、式（２）と式（３）が等しいとしても構わないのでしょうか？

すると、一般的に

(a c )
(c b )

の2行2列の行列は、　= a+b+2c

として良いのでしょうか？