分散の証明中

質問

var(X+Y)=var(X)+var(Y)の証明の解答を見ていたときにＸＹが独立である時共分散は以下のようになると書かれていました・・・
E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)=0
しかしなぜ左の式から真ん中の式に変換できたのか分かりません。どなたか教えてください。。

回答No.1

yshr9442 · ベストアンサー

期待値の期待値をとっても期待値が出てくる。E(E(x))=E(x)
これを念頭に置けば、
左辺は
E(xy)-E(yE(x))-E(xE(y))+E(E(x)E(y))
となり
E(xy)-E(y)E(x)-E(x)E(y)+E(x)E(y)
よって真ん中の式になる。

E(xE(y))=E(x)E(y)がなぜなるのかはx,yが独立であるから。
また、Var(x)を期待値で表すとどうなるかとか理解した方が良いですね。