波動方程式について

質問

wikibookの
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95_%E6%B3%A2%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA
のページにあるu(x,t)=f(x+vt)+g(x-vt)を
f(x+vt)=1/2(u(x,t)-v*∫(∂u(x,t)/∂x)dt)
に変換する過程の式を教えてください．この式はwikibookには書いていませんが分かる方お願いします．
また，もう一つお聞きたいのですが
(1/v^2)*(∂^2u(x,t)/∂t^2)
を積分すると単純に
(1/v^2)*(∂u(x,t)/∂t)
となりますか？なるとうれしいのですが．
式が見難いとは思いますが上記ふたつについて回答お願いします．

回答No.3

connykelly · ベストアンサー

>すこしでもよいので導出方法を教えてください．
少し補足だけを、、、ご検討下さい。
(1)u(x,t)=f(x+vt)+g(x-vt)
初期条件:(2)u(x,0)=f(x)+g(x)=p(x),(3)∂u(x,0)/∂t=vf'(x)-vg'(x)=r(x)。ここで'はx+vt,x-vtについての微分。
vで割ってxで積分すると
(4)f(x)-g(x)=f(x0)-g(x0)+(1/v)∫[x0,x]r(x)dx。(2)と(4)より
f(x)=(1/2)p(x)＋(1/2v)∫[x0,x]r(x)dx+(1/2)(f(x0)-g(x0))
x→v+vtと置き換えると
f(x+vt)=(1/2)(u(x,t)+(1/2v)∫[x0,x+vt](∂u(x)/∂t)dx+(1/2)(f(x0)-g(x0))
というあたりでどうでしょうか。確認下さい。

お礼

回答ありがとうございます．最近は忙しかったりネットにつなげない
環境だったりでお礼が遅れてしまいました．申し訳ありませんでした．導出方法ですが
u(x,t)=f(x+vt)+g(x-vt)の両辺をtおよびxでそれぞれ偏微分して、

∂u/∂t=∂f/∂t+∂g/∂t
v*∂u/∂x=∂f/∂t-∂g/∂t

ここからgの項を消去し、

∂f/∂t=1/2(∂u/∂t-v*∂u/∂x)

こんな感じであってますか？

回答No.5

connykelly

#4のconnykellyです。
>もう混乱してきたのであなたの導出した式を教えてください．

小生の勉強不足とウッカリミス（←しょっちゅうやっている。冷汗;)でgetmさんを混乱させてしまいすみません。よく見ると#4のお礼で書かれた導出がよいようですね。褌を締めなおさなければ。。。

お礼

私にもよくあることですので御気になさらずに．お互い褌を締め直しましょうｗ．
これまで回答して頂きましてありがとうございました．

回答No.4

connykelly

>u(x,t)=f(x+vt)+g(x-vt)の両辺をtおよびxでそれぞれ偏微分して、
∂u/∂t=∂f/∂t+∂g/∂t
v*∂u/∂x=∂f/∂t-∂g/∂t

上の式の展開がよく分かりません。
∂u(x,t)/∂t=vf'(x+vt)-vg'(x-vt)
整理して積分すると
f(x+vt)-g(x-vt)=(1/v)∫(∂u(x,t)/∂t)dx
この式とf(x+vt)+g(x-vt)=u(x,t)から出てくると思いますが、、、

お礼

任意の関数f(x)に対してｘをx+vt置き換えたf(x+vt)を考え，
p=x+vtとすると
∂f(x+vt)/∂x=f'(p)
∂f(x+vt)/∂t=v*f'(p)
同様にg(x)についてもq=x-vtとすると
∂g(x-vt)/∂x=g'(q)
∂g(x-vt)/∂t=-v*g'(q)
上の4つの式と以下の式
∂u(x,t)/∂t=vf'(x+vt)-vg'(x-vt)
∂u(x,t)/∂x=f'(x+vt)+g'(x-vt)
から
∂u/∂t=∂f/∂t+∂g/∂t
v*∂u/∂x=∂f/∂t-∂g/∂t
となると思ったのですが．
ちがいましたら，もう混乱してきたのであなたの導出した式を教えてください．

回答No.2

connykelly

>ただ，どこに書いてあるのですか？
よくわからなかったのですが

当たり前のことですがそのものズバリは書かれていませんよ。やはり自助努力はしないと、、、ということで「ダランベールの解」の項目を見てください。導出は別に難しくないと思います。

お礼

ダランベールの解の項目を読んでがんばったのですがやはり
うまく導出できません．
すこしでもよいので導出方法を教えてください．

回答No.1

connykelly

>に変換する過程の式を教えてください

ここの講義ノートの「波動」を見てください。
http://physics.s.chiba-u.ac.jp/~kurasawa/

参考URL：

http://physics.s.chiba-u.ac.jp/~kurasawa/

お礼

回答ありがとうございます．
ただ，どこに書いてあるのですか？
よくわからなかったのですが．