複素数の不等式の証明

質問

複素数a,bについて、
||a|-|b||≦|a-b|
の証明なのですが、
解説で、
||a|-|b||^2 _
＝|a|^2-2|a||b|+|b|^2≦|a|^2-2Re(ab)+|b|^2≦|a-b|^2
の、
_
|a|^2-2Re(ab)+|b|^2≦|a-b|^2
が理解できません。
ご回答よろしくお願いします。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

中途半端な解答をせず、どうせ実数を使って証明するなら初めからやれば良い。

a＝x＋y*i、b＝m＋n*i （x、y、m、nは全て実数、iは虚数単位）とする。
｜a｜＝√{x＾2＋y＾2}＝Ａ、｜b｜＝√{m＾2＋n＾2}＝Ｂ、|a-b|＝√{（x-m）＾2＋（y-n）＾2}＝Ｃであるから、証明すべきは、｜Ａ-Ｂ｜≦Ｃ。但し、明らかに、Ｃ≧0.
つまり、これは両辺共に非負の実数から2乗しても同値。
従って、（右辺）＾2-（左辺）＾2＝2{√（x＾2＋y＾2）*√（m＾2＋n＾2）-（xm+yn）}≧0.
何故なら、シュワルツの不等式から、（x＾2＋y＾2）*（m＾2＋n＾2）≧（xm＋yn）＾2≧0。等号は、mx＝ynの時。

お礼

なるほど。
了解しました。

しかし、元の解答のどのような点が中途半端なのでしょうか？

回答No.5

mister_moonlight

＞元の解答のどのような点が中途半端なのでしょうか？

君が質問した解答の事ではない。君の質問へ解答した者の解答を言っているだけどね。

お礼

比較して

＞どうせ実数を使って証明するなら初めからやれば良い。

の意味がわかりました。

ありがとうございました。

回答No.3

ichiro-hot

●要するに
×　|a|^2-2Re(ab)+|b|^2≦|a-b|^2
○　|a|^2-2Re(ab)+|b|^2＝|a-b|^2
ということですね？
　≦とすると考えすぎちゃうんじゃないんですか？

お礼

確かに・・・。

訂正ありがとうございます。

回答No.2

noname#101087

文字順がメタメタでした。誤記訂正。

---------------------------
　　a = c+i*d,　b = f+i*g
と実/虚-表示。
　　(|a||b|)^2 = (cf)^2 + (cg)^2 + (df)^2 + (dg)^2
　　{Re(ab~)}^2 = (cf + dg)^2 = (cf)^2 + 2*(cfdg) + (dg)^2
両者の差をとってみると、
　　(|a||b|)^2 - {Re(ab~)}^2 = (cg)^2- 2*(cfdg) + (df)^2 = (cf - df)^2 ≧0

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。
~が共役の記号だということは初耳です。
今度から使いたいと思います。

私は最近解析学を入門編の本を用いて勉強し始めました。
これからわからないことがたくさん出てくると思いますので、
そのときはまたよろしくお願いします。

回答No.1

noname#101087

step by step で。(a~ で a の共役を示す)

前半は、実数 |a|, |b| についての等式。
　　||a|-|b||^2 = (|a|-|b|)^2 ＝|a|^2 - 2|a||b| + |b|^2　　…(1)
後半は、複素数 a, b についての等式。
　　|a-b|^2 = (a - b)*(a~ - b~) = aa~ - ab~ - a~b + bb~ = |a|^2 - 2Re(ab~) + |b|^2　　…(2)
…ここまでは OK ですね。

残りは、
　　|a||b|≧Re(ab~)
…の地道(退屈)な証明を。
まず、
　　a = c+i*d,　b = e+i*f
と実/虚-表示。
　　(|a||b|)^2 = (cf)^2 + (cg)^2 + (df)^2 + (dg)^2
　　{Re(ab~)}^2 = (cf + dg)^2 = (cf)^2 + 2*(cgdf) + (dg)^2
両者の差をとってみると、
　　(|a||b|)^2 - {Re(ab~)}^2 = (cg)^2 + (df)^2 - 2*(cgdf) = (cg - df)^2 ≧0
つまり、
　　(|a||b|)^2 ≧{Re(ab~)}^2
　　|a||b| ≧ Re(ab~)　　…(3)
の関係が得られる。

式(3) を式(1), (2) に適用すれば、||a|-|b||^2 ≦ |a-b|^2 だとわかります。