条件付き 不等式の証明

質問

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★a>0，b>0のとき，(a+b)(b+c)(c+a)≧8abcが成り立つことを証明せよ。
　また、等号が成り立つのはどのようなときか。

この問題の説明をお願いします！
ちなみに、4Step【式と証明，複素数と方程式】４４番

回答No.1

HamuMS2009 · ベストアンサー

「c>0」が抜けているような気がしますが……。

a>0, b>0, c>0より、相加平均と相乗平均の大小関係から
　a+b≧2√ab, b+c≧2√bc, c+a≧2√ca
等号成立条件は、左から順にa=b, b=c, c=aとなります。　※
ここで、3つの不等式の辺々を掛けると
　(a+b)(b+c)(c+a)
≧(2√ab)(2√bc)(2√ca)
=8√(ab・bc・ca)
=8√(a^2 ・b^2 ・c^2)
=8√(abc)^2
=8abc
また、等号成立条件はa=b=cとなります。　←※より

お礼

問題文に「c>0」が抜けています…
すいません；

丁寧な回答ありがとうございます！
よく分かりました＾＾