複素数の問題です

質問

複素数a，bに対しab=0ならばa=0あるいはb=0が従うこと証明せよ。という問題なのですが解答がなく困ってます

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

複素数a,bを実部、虚部を用いて
a=p*iq
b=u+iv
とする。p,q,u,vは実数である。
a,bともに0のときab=0は明らか。
よってどちらかが0でないときについて考察する。
a≠0としても一般性を失わない。すなわち
p≠0かつq≠0

ab=(p*iq)(u+iv)=(pu-qv)+i(pv+qu)=0

ならば

pu-qv=0 (1)
pv+qu=0　　(2)

(1)×u+(2)×vを作ると
p(u^2+v^2)=0

p≠0より

u^2+v^2=0　　　(3)

u,vは実数なので(3)が成り立つためには

u=0かつv=0

よってb=0

お礼

詳しくありがとうございます