閉区間の微分可能って？

質問

初歩的な質問ですいません。過去カテを覗いては見たのですが、
しっくりと分からないので質問します。
関数f(x)がx=aで微分可能というのは、左極限と右極限が一致する場合だと思うのですが、閉区間[a,b]で微分可能という時の端点aやbでは
どうなっているのでしょうか。平均値やロールの定理のときに
[a,b]で連続、(a,b)で微分可能というのは分かるのですが、
[a,b]で連続、[a,b]で微分可能と書いてあるときの端点a,bでは、上の定義が成り立たないような気がするのですが…。単純にわたしの定義の仕方がおかしいのでしょうか。どうかよろしくお願いします。

回答No.1

tsukita · ベストアンサー

そうですね、一般に、閉区間[a,b]に対して定義された連続関数f(x)について、端点a,bでは微分可能かどうかは判断できません。
※微分可能の定義、すごくしっかり理解してますね!!

ただ、推測でしかありませんが、それは多分定理の“仮定”にある記述ではないでしょうか？

“ある関数が[a,b]で連続でしかも[a,b]で（端点aとbも含めて）微分可能だとすれば○○○ということが成り立ちますよ”

といったみたいに。

読者にはこの関数のaとbの外側で関数がどうなっているのか知ることはできませんが、“[a,b]で（端点aとbも含めて）微分可能”といっているので、きっとaとbの外側にも（少なくともちょっぴりは）関数が続いているはずです！

お礼

なるほど、すっきりしました。
[a,b]だから関数自体が[a,b]外にはてっきり
なくなってしまうものとばかり考えていました。
本当にありがとうございます。

回答No.2

arrysthmia

「閉区間で微分可能」といった条件を考えることが
実際にあるのかどうか、よく判りませんが…
前後の文脈によって、ふた通りの解釈が在りそうです。

(1) 微分可能性はともかく、関数は [a,b] の外側でも
　　定義されているとする。そのため、x = a や x = b での
　　微分係数も、普通に考えることができる。

(2) 閉区間の端点では、片側極限だけ考える。
　　[a,b] の x = a では、右極限 lim[h→＋0] { f(a+h) - f(a) } / h
　　さえ収束すれば、「微分可能」として扱う。

どっちの話でしょうね。

お礼

そうなんです、(2)のようになったとき、ことわりもなく
微分可能といっていいのかなあと思ってしまって…。
でも(1)で納得しました。微分可能といってあるわけだから
微分可能なんですよね。
ありがとうございました。分からなくなったら、
またよろしくお願いします。