y=tan(x)以外で区間(-1,1)で微分可能なシンプルな関数ってありますか?

質問

こんにちは。

y=tan(x)以外で区間(-1,1)で微分可能な よりシンプルな関数ってありますか?
tan(x)は定義自体が複雑なので全単射とかの証明になると大変そうです。

できればxの多項式になっているようなものを探しています。
(全単射、連続、微分可能を簡単に示せるような関数)

できるだけたくさんご紹介いただけると幸いでございます。

回答No.3

noname#101087 · ベストアンサー

皆さんのコメントとそれへのご応答を拝見して "y=tan(x)" の含意を憶測してみます。

勝手に「x (-1, +1) が領域で (-∞, +∞) が値域の単調(実)関数」だとしましょうか。
奇関数ならば、
　y=x/SQRT(1-x^2)
が最簡形の一つかも知れません。

お礼

有難うございました。
色々あるのですね。
お蔭様で参考になりました。

回答No.5

adinat

全射性に関してですが、yを任意の実数とするとき、lim_{x→±π/2}tan(x)=±∞と、tan(x)の連続性から、f(x):=tan(x)-yは-π/2<x_0<π/2なるあるx_0に対してf(x_0)=0を満たします。このことはグラフを書いてやれば明らかです。これをよくArcTan(y)と言ったりしますね。

f(x)=yを満たすxがすべてのyについて存在することが示されればそれで全射なのです。存在を示す抽象命題に多少慣れられるとよいでしょう。存在型の定理でもっともよく使うのが、この中間値の定理です。また平均値の定理などもよく使われます。

お礼

どうもありがとうございます。
お陰様で大変勉強になりました。

回答No.4

info22

y=1/cos(xπ/2)
y=(x+2)/cos(xπ/2)
y=(x^3)/cos(xπ/2)
y=f(x)/cos(xπ/2),ただしf(x)は実係数多項式でf(±1)≠0

y=1/(1-x^2)
y=(x+2)/(1-x^2)
y=f(x)/(1-x^2),ただし，f(x)は実係数多項式でf(±1)≠0

y=1/√(1-x^2)
y=x(1+x^2)/√(1-x^2)
y=f(x)/√(1-x^2),ただし，f(x)は実係数多項式でf(±1)≠0

など、いかがですか？

y=f(x)/g(x)
ただし,f(x)は|x|≦1で連続な関数でf(±1)≠0，
g(x)は|x|≦1で連続な関数でg(±1)＝0

などで作られてはいかがですか？

お礼

有難うございました。
色々あるのですね。
お蔭様で参考になりました。

回答No.2

adinat

y=2x/(1-x^2)=1/(1-x)-1/(1+x)
などは比較的意味がわかりやすいでしょう。しかし、簡単の定義がよくわからないのでこれでも難しいのかも知れませんね。

y=tan(x)
はとてもやさしいですよ。y'=1/cos^2(x)だから、区間(-π/2,π/2)で狭義単調増大かつ、微分可能で、したがって特に単射連続です。なおかつ、極限をとれば、lim_{x→±π/2}tan(x)=±∞より全射です。

お礼

ご回答有難うございます。

> y=tan(x)
> はとてもやさしいですよ。y'=1/cos^2(x)だから、区間(-π/2,π/2)で
> 狭義単調増大かつ、微分可能で、したがって特に単射連続です。
> なおかつ、極限をとれば、lim_{x→±π/2}tan(x)=±∞より全射です。
全射であることは∀y∈Rに対して∃x such that y=tan(x)という風にして示すのではないんでしょうか?
∀y∈Rに対してxをどのように採ればいいのでしょうか?

回答No.1

gururinbus

質問は「y=tan(x)以外で区間(-1,1)で微分可能なシンプルな関数はあるか？」でいいのでしょうか？

それなら、y=xなどは区間(-1,1)で微分可能なシンプルな関数だと思いますが。

Arice123が「y=tan(x)以外」や「全単射、連続、微分可能を簡単に示せるような関数」ということおっしゃっているところから考えると、質問は「区間(-1,1)で微分可能な関数でその関数を(1,-1)→実数体への写像とみなしたとき、その写像が全単射となるようなものでy=tan(x)以外のシンプルな関数はあるか？」というものだと思います。(もし違っていたらごめんなさい。)

もし、そうなら
まず、y=tan(x)は(-π/2,π/2)→実数体で全単射なので、y=tan(π/2*x)にする必要があります。

もっとシンプルな関数を探そうとすると

(1)区間(-1,1)で微分可能
(2)(1,-1)→実数体への写像とみなしたとき、その写像が全単射

という二つの条件からx=-1,x=1に漸近線を持つような微分可能な関数でないと困ると思います。そうなるとシンプルなものはy=tan(π/2*x)以外には思い浮かびません。

お礼

> 質問は「y=tan(x)以外で区間(-1,1)で微分可能なシンプルな関数は
> あるか？」でいいのでしょうか？
すいません。
言い忘れてました。
x=-1とx=1を漸近線に持つようなものです。