ロルの定理の前提『［a,b］で連続、(a,b)で微分可能』について。

質問

皆様、お世話になります。よろしくお願いします。

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ロルの定理
f(x)が閉区間［a,b］で連続、開区間(a,b)で微分可能でf(a)＝f(b)
ならばf'(ξ)＝0、a≦ξ≦bなる点ξが存在する。
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の前提部分の『閉区間［a,b］で連続、開区間(a,b)微分可能』
がいまいちよく分かりません。
定義域の端点においても微分可能が定義でき、なおかつ微分可能であれば連続であるので
『閉区間［a,b］で連続、開区間(a,b)微分可能』を『閉区間[a,b]において微分可能』とまとめてしまっても良いような気もするのですが、
このようにしない理由は何なのでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

f(x)がx=aやx=bで微分可能でない関数についてもこの定理が成り立つからです。
(例1)f(x)=|x|(x-1)のような関数で区間[0,1]について考えますと、f(x)はx=0で連続で微分可能ではありませんが区間[0,1]でロルの定理を適用することが可能です。

(例2)f(x)=x^(1/3)-x
この関数はx→0で微係数は発散してしまいますがこれも[0,1]でロルの定理を適用可能です。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

なるほど。
(例1)のような折れ線の頂点部が定義域の端点になる時や
（例2）のような微分係数が左右で＋∞、ー∞となる時がありますね。
とても分かり易い例をどうもありがとうございます。

あともう一つ質問があるのですが、
例えば極限値を求める問題でlim[x→+∞]x^2＝+∞
これは極限値が存在しないということなのでしょうか？

具体的には
円：(x-2)^2+y^2＝1において
lim{x→1}yの極限値は存在しないのか、それとも+∞という極限値が存在してx＝1で微分可能といえるのか、ということなのですが。
どうなのでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.1

masa072

＞定義域の端点においても微分可能が定義でき
ここが誤りです。
定義域の端点は微分不可能です。

微分の定義で言うと，
hが限りなく0に近づくとき，(f(a+h)-f(a))/hが存在するとき，それをx=aにおける微分係数と言いますが，[a,b]ではh→-0が存在しません。
x≧aで連続の場合は，左側極限を考える必要がなく，h→+0のときのf(a+h)とf(a)が一致するのみでいいので連続を言うことができます。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

>定義域の端点は微分不可能です。
私も今までそのように理解していたのですが、
今日ある参考書に（解析学　水野克彦著　学術図書出版）
定義域の端点における微分可能性について書いてあったのです。

「関数の定義域の端点においては右（または左）微分係数が存在する時その点で微分可能という。」(p.39)

私も今まで定義域の端点では微分不可能だと思ってこのロルの定理の前提を理解していたのですが、言われてみるとはっきりそのように書いてあった本は見た事がないような気がしてきたのです。

>定義域の端点は微分不可能です。
このことについて書いてある参考書をご存知でしょうか？

調べてみた所端点の微分可能性について言及している本も上記の1冊のみなので間違いである可能性もあると思います。

自信がないので質問しました。
よろしくお願い致します。