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微分可能な関数について考える
- 微分可能な関数についての疑問を解決するために、f(x)がx=aで微分可能な場合、f(x)はx=aで連続であることを証明する。
- また、不連続な関数f(x)=x^2 (xが0でない)とf(x)=1 (xが0のとき)について考え、それが微分可能性に反するかどうかを詳しく解説する。
- 結論として、f(x)が不連続な場合は微分可能性に反するのが正しいことを示すことができる。
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一点目： 関数が連続でない点上では、微分係数の値が定義されない(微分可能でない)だけで、 微分可能性は定義されている。だからこそ、「微分不能」という言葉が存在する。 微分可能でない点上では微分可能性まで定義されないとしてしまうと、この世には 微分可能と判定不能しかなく、微分不能という状態は存在しないことになる。 それは変でしょ。 二点目： 確かに、lim(x→±0) f'(x) = 0 という極限値は存在している。そこから 貴方は f'(0) = lim(x→±0) f'(x) = 0 と計算しようとした訳だが、 その計算は、f'(x) が x = 0 で連続であることを仮定として使ってしまっている。 f'(x) の x = 0 での連続性は、f(x) の x = 0 での微分可能性よりも強い仮定だ というだけの話で、連続的微分可能と仮定したら微分可能と結論できたに過ぎない。 その例の f(x) が x = 0 で微分不能であることは、質問一点目の定理を使えば示せるから、 f(x) が x = 0 で連続的微分可能と仮定することは荒唐無稽である。
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恥ずかしながら、私もよくわかっていません。 あまり、難しいことはつっこまないでくれ。 しかし、考えることは大切です。 この質問はよい質問だと思っています。
二つの極限値は＝０でひとしいですね。 しかし、ｆ（ｘ）はｘ＝０で不連続ですね。 それで？
お礼
もしかして、 lim[x-->±0]{f(x)}＝０ とありますが、lim[x-->±0]{f’(x)}＝０の ことかと思うのですが・・・
f(x)=x^2 について、lim[x-->±0]{f(x)}＝０です。 このｆ（ｘ）＝０は極限値です。 一方ｆ（０）＝１は関数値です。 この違いを混同していますね。 lim[x-->＋0]ｆ（ｘ）とim[x-->－0]ｆ（ｘ）の二つの極限値が存在して いる場合は、微分可能とはいいません。 微分不可能といいます。 なぜそうなったかと言えば、ｆ（０）＝１で ｘ＝０でｆ（ｘ）が不連続だからですね。
お礼
回答ありがとうございます lim[x-->＋0]ｆ（ｘ）とim[x-->－0]ｆ（ｘ）の二つの極限値が存在して いる場合は、微分可能とはいいません。 これで確認になりますが、両方とも極限値は０になりますね。
>>x=a で不連続なら微分を考えることもできない その通り。もうすでに君は半分示せて半分示せていない状況になっているわけだな。 まさに(*)について対偶をとって君は議論をしているわけだ。でもとりあえず定義を使って示すのが 数学の基本中の基本。 この場合f(x)がx=aで微分可能であるというのは あるδ>0に対し|x-a|<δならば |f(x)-f(a)|=A|x-a|＋O(|x-a|) となるAが存在する。但しlim(x→a)O(|x-a|)/|x-a|=0 であること。これでもうお分かりのはず。 A|x-a|とO(|x-a|)はx=aでの連続性を保つからもちろんε-δ論法に従って ε1>0を任意に固定して |x-a|<δ1⇒|A|x-a||<ε1となるδ1>0が存在する 同様に|x-a|<δ2⇒|O(|x-a|)|<ε2 なるδ2>0がある。 ε=ε1＋ε2とすればε(>0)は任意なので、適当に固定してδ=min(δ1,δ2)として |x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε が成立する。 これで連続性が言えたわけだ。 まあ大学ではこのように定義を使って厳密に示さないといけない。だから意味があるかないかは あなたの目指す道にもよるが、数学を深めたいなら意味は十分ある。むしろ大切な定理 さて次の問題だが、f(x)=x^2 (x≠0),f(x)=1(x=0) である関数を微分するとx=0では導関数が定義できていないことが分かるはずだ。 事実f'(x)=2x (x≠0) がいえるだけであってx=0では何にも記されていない。 確かにlim(x→±0)f'(x)=0であるが、f'(x)=0(x=0)というのが定義されていないと 極限値は存在しない。
お礼
回答ありがとうございます ε-δ論法は私にはむずかしい。けれども 微分可能から連続を導く手順はわかりました。 微分可能と言う言葉自体の意味をはっきり自分自身が 捉えていないことがわかりました
捕捉： グラフの接線の傾きに関する議論ですが、fのグラフでは点(0,1)が「浮いた点」になっている。 よって点(0,1)でのグラフの接線は一意に定まらない。 これがfの0での微分不可能性を意味していると思います。
普通微分可能性は連続性を仮定せずに定義されていると思います。 そのような定義の下では、微分可能性が連続性を意味するというのは必ずしも自明ではないのではないでしょうか。 もう1つの疑問については、最後に書かれている「定義に従うと、...無限になり存在しない」ことが、fが0で微分可能でないことの証明です。 f'(0)はx→0のときのf'の極限で定義されている訳ではありません（そのように定義できるのはf'が0で連続な場合だけです）。
お礼
回答ありがとうございます f'(0)はx→0のときのf'の極限で定義されている訳ではありません ここのところが、参考になりました
お礼
回答ありがとうございます 二点目で 貴方は f'(0) = lim(x→±0) f'(x) = 0 と計算しようとした訳だが、 その計算は、f'(x) が x = 0 で連続であることを仮定として使ってしまっている。 ここで、自分が間違っているところがわかりました。