二変数関数微分

質問

極座標変換をしてからx=rcosθ,y=rsinθにすれば
わかりやすいときいたんですが
ちょっと分からない問題がいくつかあるので
アドバイスお願いします。

(1)極限が存在するかどうか調べよ
lim((x,y)→(0,0)) xylog(x^2+y^2)

(2)原点における連続性、偏微分可能性、微分可能性を求めよ。
f(x,y)=xysin(1/√(x^2+y^2))・・・((x,y)≠(0,0))
　　　　0・・・((x,y)=(0,0))

です。１は極座標でやってみたのですが
log rが残ってr→0にするとその部分が
どうなるのかわからなくなってしまいました。
２は微分可能の定義より
f(a+h,b+k)=f(a,b)+fx(a,b)h+fy(a,b)k+α√(h^2+k^2)
で
f(x+a,y+b)=√(1-a^2-b^2)-ax/√(1-a^2-b^2)-bx/√(1-a^2-b^2)+α√(a^2+b^2)
よりαが存在するから微分可能。
よって連続、偏微分も可能である。
という解答でいいのでしょうか？
自分的にはちょっと違うような気もするので教えて下さい。

回答No.3

keyguy · ベストアンサー

単なる修正もれ

(1)
対数は自然対数とする
sin(2・θ)・r^2・logrを考える
0<r<1のとき0<log(1/r)<1/r-1であるから
r・(r-1)<r^2・log(r)<0

(2)
連続性:
|f(x,y)|=|x・y・sin(1/√(x^2+y^2))|≦|x・y|
偏微分可能性:
fx(0,0)=lim(x→0)・(f(x,0)-f(0,0))/x
ところでf(x,0)≡0
微分可能性:
|f(x,y)/√(x^2+y^2)|≦|x・y/√(x^2+y^2)|
≦|(x^2+y^2)/2/√(x^2+y^2)|=√(x^2+y^2)/2

回答No.2

keyguy

書き間違い

(1)
対数は自然対数とする
sin(2・θ)・r^2・logrを考える
0<r<1のとき1-1/r<log(r)<0であるから
r・(r-1)<r・log(r)<0

(2)
連続性:
|f(x,y)|=|x・y・sin(1/√(x^2+y^2))|≦|x・y|
偏微分可能性:
fx(0,0)=lim(x→0)・(f(x,0)-f(0,0))/x=0
微分可能性:
|f(x,y)/√(x^2+y^2)|≦|x・y/√(x^2+y^2)|
≦|(x^2+y^2)/2/√(x^2+y^2)|=√(x^2+y^2)/2

回答No.1

keyguy

(1)
対数は自然対数とする
sin(2・θ)・r^2・logrを考える
0<r<1のとき1/r-1<log(r)<0であるから
r・(1-r)<r・log(r)<0

(2)
連続性:
|f(x,y)|=|x・y・sin(1/√(x^2+y^2))|≦|x・y|
偏微分可能性:
fx(0,0)=lim(x→0)・(f(x,0)-f(0,0))/x=0
微分可能性:
|f(x,y)/√(x^2+y^2)|≦|x・y/√(x^2+y^2)|
≦|(x^2+y^2)/2/√(x^2+y^2)|=√(x^2+y^2)/2