微分

質問

今ｙ＝e＾（ｘ＾３）のｘについて微分を微分の定義に従って解こうとしているのですが、極限操作がうまくいきません。
対数微分法などでしか無理なんでしょうか。

回答No.2

R_Earl

> ただ、ロピタルの定理は微分可能であることが前提ではないのでは無いですか？
> すなわち分子の部分は微分可能ではありますが、実際示すとき、それも微分可能かどうかを調べなければならないように思うのですが、いかがでしょうか？

そうですね。climber_nagasakiさんの仰るとおりです。
よくよく考えたらそもそもe^(x^3)を定義にしたがって微分したいのに
e^{ 3h(x^2) + 3(h^2)x + h^3 }を定義を使わずに微分するのはおかしい感じがしますね。
ということになると、ロピタルの定理は不適ですね。すみません。

回答No.1

R_Earl

ロピタルの定理を使えば極限を計算できます。
ロピタルの定理はご存知でしょうか？
f(x) = g(x) / h(x)という分数の形をした関数の極限を求められます。
一応ロピタルの定理がどんなものかを載せておきます。

1) f(x) = g(x) / h(x)のx→aの時の極限値が不定形（f(x)→0/0やf(x)→∞/∞等）で
2) f(x)がx→aの時、極限値を持つなら
（x→aのf(x)の極限値） = （x→aのg'(x) / h'(x)の極限値）

さて、h→0の時、
y'
= [ e^{ (x+h)^3 } - e^(x^3) ] / h
= e^(x^3) × [e^{ 3h(x^2) + 3(h^2)x + h^3 } - 1 ] / h

e^(x^3)はhを含まないので、h→0でも変化無しなので放っておきます。
あとはh→0の時の[e^{ 3h(x^2) + 3(h^2)x + h^3 } - 1 ] / hの極限値を
ロピタルの定理で求められるはずです。
今回はh→0での極限値なので分子、分母をhで微分しましょう。

お礼

回答ありがとうございます。
ロピタルの定理は知っていました。
ただ、ロピタルの定理は微分可能であることが前提ではないのでは無いですか？
すなわち分子の部分は微分可能ではありますが、実際示すとき、それも微分可能かどうかを調べなければならないように思うのですが、いかがでしょうか？