微分可能かどうか

質問

f(x)=exp(-1/x)　　:x>0
　　=0　　　　　　　:x<=0
でx=0で微分可能かどうか調べたいのですが
微分の定義に戻ってロピタルの定理などを使ったのですが
できませんでした。
左極限が0なのはわかっています。
右極限がどうしても不定形となってしまいます。
どうすればよいでしょうかよろしくお願いします。

回答No.1

narucross · ベストアンサー

こんばんは。
微分の定義にしたがってx=0における右方極限を求めてみます。
lim(h→+0)(f(0+h)-f(0))/h
=lim(略)(exp(-1/h)-0/h）
ここで見やすくするために、h=1/nとして式を書き換えます。
h→+0のとき、n→+∞ですね。
=lim(n→+∞)(n/exp(n))となります。
ここまでくれば、指数関数と整関数の発散速度の違いから、（ロピタルの定理を使ってもよいですが）0に収束することは明らかです。

より厳密に証明したければ、二項定理を用いて
2^n=(1+1)^n
=nCo+nC1+nC2+......
>nC2=n(n-1)/2
これを使うと、ネイピア数e>2より
0 < n/exp(n) < n/2^n　・・・（＊） < n/(n(n-1)/2)=2/(n-1)
はさみうちの原理によりnが+∞に向かうとき、＊が0になることが証明されます。

以上より、微分可能だということがわかりましたね。

お礼

回答ありがとうございます、ようやくわかりました。
私はlim(略)(exp(-1/h)/h）でexp(-1/h)はexp(-∞）は０で分母も０
ロピタルつかってもexp(-1/h)/(1*h^2)となり何回ロピタルつかっても0/0で不定形になると思って困ってました。本当にありがとうございました。