微分可能性、微分法

質問

曲線ｘ＝cosθ、ｙ＝sin２θ（－π≦θ≦π）の概形をかけ。という問題で、曲線はx軸に対称で、かつ、周期性から０≦θ≦πを調べればよい。ｘ＝ｆ（θ）、ｙ＝g(θ）とする。ｆ‘（θ）＝-sinθ、ｇ‘（θ）＝２cos２θ、０≦θ≦πにおいて、
ｆ‘（θ）＝０となるθはθ＝０、π、ｇ‘（θ）＝π／４、３π／４と書かれていて、添付画像のような図（増減表）が書かれています。解答の流れは納得できるのですが、０≦θ≦πをしらべるのはわかりますが、端点のθ＝０、πでは微分不可能だと思うのですが、これが全く考慮されていません。（片側極限しか存在しないので、端点では微分不可能だと思う）
なぜ、微分可能なのでしょうか?
（ｃｆ）
わたしがこのように考えたのは同じような問題で微分不可能ということをきちんと考慮している問題があったからです。
ｙ＝4cosx+2cos2x(-2π≦ｘ≦２π）のグラフをかけという問題では、同様に、グラフはy軸対称という対称性の確認をし、０＜ｘ＜２πにおいてｙ‘＝０となるｘを求める。とわざわざ端点が微分不可能ということを考慮していたからです。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

ｘ＝cosθ、ｙ＝sin２θ（－π≦θ≦π）のとき

dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)=2cos2θ/sinθ

であって、sinθ=0の点では曲線はx軸に垂直になります。グラフはいわゆるリサージュの一つで

ちょうど∞のような形になります。

「ｆ‘（θ）＝０となるθはθ＝０、π」というのがこのことを示しており、

微分可能性云々を言うほどのことではないと考えているのでしょう。

＞ｙ＝4cosx+2cos2x(-2π≦ｘ≦２π）のグラフをかけという問題では、同様に、グラフはy軸対称という対称性の確認をし、０＜ｘ＜２πにおいてｙ‘＝０となるｘを求める。とわざわざ端点が微分不可能ということを考慮していたからです。

何を言っているのかわかりませが、あらゆる点で微分可能です。

お礼

ありがとうございました