環準同型

質問

代数の勉強をしていてわからないことがあります。

Rを環とし、Rの単位元を1とする。このとき、整数環ZからRへの環準同型 ｆ：Z→R
が唯１つ存在する。

f(n)=n・１（nはZの元）で与えられるf：Z→Rは環準同型である。これが唯１つの環準同型である。

と、あるのですがこれが環準同型であることは、定義にしたがってあてはめればわかったのですが、
唯１つであるということがわかりません。
なぜこのように結論付けられるのか教えていただけないでしょうか。

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

勝手な環準同型 f ; Z → R を取ります．すると定義より
f(1) = 1,
f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 2,
…
と整数環 Z 上の値は自動的に決まってしまうからです．

お礼

なるほど！
単位元も移っていくというのがポイントなんですね
的確な解説ありがとうございます。