方程式の根について

質問

初歩的な質問ですが、どうか教えて下さい。

以下の式について、

q＝a・{(2・Δp)/(ξ・ρ)}^1/η

「qの根は複素数の範囲で３個あるが、少なくとも１個は実数であり、
正の最大根を求めるqとする」とあるのですが、
３個の根についての解法と「根・複素数」についての説明をお願いします。

回答No.3

noname#24477 · ベストアンサー

私はあまり物理的な理解力はありません。

しかし要は
pi+b0(k)+b1(k)・q(k)+b2(k)・q(k)^2+b3(k)・q(k)^3-pj
=d1(k)・q{q(k)/a(k)}+d2(k)・{q(k)/a(k)}^2

pj+b0(k)+b1(k)・q(k)+b2(k)・q(k)^2+b3(k)・q(k)^3-pi
=d1(k)・q{q(k)/a(k)}+d2(k)・{q(k)/a(k)}^2

q(k)の３次式ですね。他は定数ですね。ここが必要なだけですよ。
ただpiとpjとの関係がよく分からない、
２つの式はどちらか１つでいい？
（数学的に言えば、上の２つの式は同時には成り立たない。？
２つの式でpiとpjの意味するものが違うのですか？）

ｘの3次式で説明します、ｘをｑに置き換えてみてください。

f(x)＝x^3＋ax^2＋bx+c＝０
この式でｘを大きくすれば　f(x)はプラスになります。
初期条件ｘ＝０のとき　f(0)がマイナス
ならば必ずｘが正のところで０になるｘが見つかります。

別に初期条件はｘ＝０のときでなくともｘ＞０のところで
ｆ（ｘ）＜０　であればOKです。

左辺に集めたときに定数項が負になれば、正の解があります。（x^3の係数は
正）
もっと物理的な事実からｑ＞０がいえるのかも知れません。

とにかく実数の係数の３次方程式なら実数解が１、虚数解が２
あるいは３個とも実数解です。
これは数学的事実、なんて大げさに言わなくてもいいんですが。

だから１つの解（３つあるときは一番大きい解）が正といえれば
「正の最大根を、求める風量q(k)とする。」といえるのです。

お礼

説明不十分な問題にもかかわらず、ご丁寧な回答をありがとうございました。
ojamanbo様の回答で、多少は問題が理解できたと思います。
また、何かありましたら、よろしくお願いいたします。

回答No.2

noname#24477

これだけの式では答えようがありません。

3次方程式なら複素数の範囲で3つの解を持ち、係数が実数ならば
3つの解のうち少なくとも1つは実数解である。

というのがあなたの問題に１番近いように思います。
正の解になるためには、さらに係数に条件が必要です。
例えばx＝0のときに、正とか負とか。

問題を全部書いて下さい。aとかpが何かも分かりませんし//

補足

説明不足で、大変失礼いたしました。
長くなりますが、全文を書かせていただきます。

換気回路網について考える問題で、
仮定された節点圧力p(i)によって風量残差v(i)を計算し、
これを0にもっていくように節点圧力に修正を加えていく。

流路のk番について、i側からかかる静圧をpi、j側からかかる静圧をpjとすれば、それぞれ次式で計算される。
pi=p(σi(k))-{h(k)-l(σi(k))}・ρ(σi(k))・g
pj=p(σj(k))-{h(k)-l(σj(k))}・ρ(σj(k))・g
piとpjの大小関係により風上側の節点番号σu(k)、風下側の節点番号σd(k)が決定される。
圧力差をΔpとすれば、次式で計算される。
Δp=|pi-pj|
この圧力差Δp、面積a、圧力損失ξ、密度ρなどからk番流路の風量q(k)は、
次式で計算される。
q(k)=a(k)・{(2・Δp)/(ξ(k)・ρ(σu(k)}^1/η(k)
送風機を持つ流路ついては、送風機特性曲線が、b0(k)b1(k)b2(k)を持つ3次曲線で表されているから、q(k)について解くために流路の差圧と風量の関係も最小ニ乗法によりq(k)の1次2次の式に回帰しておく。
ξ(k)・ρ/2・{q(k)/a(k)}^η(k)≡d1(k)・q{q(k)/a(k)}+d2(k)・{q(k)/a(k)}^2
送風機の加圧がi側から行われる場合とj側からの場合についてそれぞれq(k)に関する3次式が成り立つ。
pi+b0(k)+b1(k)・q(k)+b2(k)・q(k)^2+b3(k)・q(k)^3-pj
=d1(k)・q{q(k)/a(k)}+d2(k)・{q(k)/a(k)}^2
pj+b0(k)+b1(k)・q(k)+b2(k)・q(k)^2+b3(k)・q(k)^3-pi
=d1(k)・q{q(k)/a(k)}+d2(k)・{q(k)/a(k)}^2
風量q(k)の根は複素数の範囲で3個あるが少なくとも1個は実数である。
正の最大根を求める風量q(k)とする。

以上ですが、送風機をもつ流路についての3次式について、
根が3つあるのだということだと思うのですが？
わかりづらい内容ですが、よろしくお願いいたします。

回答No.1

oshiete_goo

ひょっとして，別のところで実係数の３次方程式か何かでqが決まっているのでは？
もしそうならば有名事実ですね.（多分ご存知でしょう．）

実係数の３次方程式　f(x)＝０　があれば，
ｙ＝ｆ（ｘ）は ３次の係数の符号によらず，
lim_{x→－∞}f(x)　と　lim_{x→＋∞}f(x)
が異符号の無限大に発散する(例えば３次の係数が正なら，－∞から＋∞にいく)ので，グラフを考えればf(x)＝０は少なくとも１つの実解を持ちます．要するに中間値の定理の話です．

お書きの式とは直接結びつきそうにない気がします．

お礼

説明不十分な問題にもかかわらず、
ご回答ありがとうございました。
ご指摘のとおり、３次方程式からｑが決定されていました。
また、何かありましたら、よろしくお願いいたします。