方程式

質問

（１）
144の正の約数は□個であり、それらの和は□である

約数は15個と分かったのですが、和がわかりません。

1,2,3,4,6,8,12,18,24,36,48,72,144の他にありますか？

(2)

4＾(x)=(2＾(x＋1))＋aが異なる２つの実数解をもつようなaの範囲は□である。

2^xをと置いて考えたのですがよくわかりません。

4＾x=2＾x　＊２＋a

(3)複素数平面上で、z1=√6 ＋√2i ,z2=1＋√3iが示す点をそれぞれp1,p2とし、また原点をOとする。このとき、Lp1 O p2 の大きさは□であり、△p1 o p2　の面積は□である

z1=√6 ＋√2iを√2でくくみると
√２（√3＋i)

となるけどよくわかりません。；
3問、初心者みたいにおしえてください。
お願いします。

回答No.1

kony0

(1)その15個であってると思いますよ。
ちなみに144=2^4*3^2なので、正の約数の和は
(1+2+2^2+2^3+2^4)*(1+3+3^2)
で計算できます。なんでこれで計算できるかは、一度上の式を展開してみるとわかるかも・・・

(2)2^x=tとおくと、4^x=t^2です。
ということは、元の式はtの2次方程式になります。
このtの2次方程式が異なる２つの「正の」解を持てばよいということになります。
なぜ「正の」解になるかは・・・t=2^xのグラフなりを思い浮かべてみるとわかるかも。
答えは-1<a<0ですかね？

(3)この問題ではz1, z2の「偏角」があっさりと求められます。（本来ならtanの加法定理とかを使うのでしょうが、こちらは加法定理使わなくても、tanから偏角がすぐわかる。）
面積は(1/2)*|z1|*|z2|*sin∠P1OP2でもよいし、もっと直接的に(1/2)|Re(z1)*Im(z2)-Re(z2)*Im(z1)|でもよいし・・・（最後のって、高校生が習う複素平面で普通に出てくる公式かどうかわかりませんが、少なくとも「1次変換」（いま高校ではやらないのかなぁ）を知っていれば極めて基本的な面積公式と思われます。ベクトルの知識からでも簡単に求められます。）