ルートと平方根の違い

質問

過去の質問をある程度洗わせて頂いて大体のところは理解できたのですが、確認と、いくつか細かい疑問が出てきたので質問させて頂きます。
＊この質問中において、ｘは実数、ａは正の実数、iは虚数単位とします。

確認事項
1.平方根と√(ルート)は違うもの
平方根は２乗してｘになる２つの数(±ｘ^(1/2)＝±ａ)を表したもので、ルートは平方根のうち正の数(ｘ^(1/2)＝ａ)を表す
例：2の平方根は±2、√(4)＝2

2.ルートの計算で、ｙ＝f(ｘ)＝√(ｘ)^2としたとき、ｙ＝ｘ
例：√(4)^2＝4

3.√(ａ^2)はａ、√((-ａ)^2)もａ
例：√(2^2)＝2、√((-2)^2)＝2

ここで質問です。
上の3項はいずれも複素数を考えない場合(ｘ≧0)に成り立つ性質だと思います。そこで、複素数を含めた考え方をすると…
1.ｘ＜0の時、ｘの平方根、ルートはどうなるのか？
平方根は±ａiとできる気がしますが、ルートはそもそも正の数という概念がａiに適応できるのかどうか？

2.√(-ａ)^2はどうなるのか？
一瞬√(-ａ)^2＝-ａと思ってしまったのですが、-ａ＜0のためルートの定義から外れます。複素数を経由しても
√(-ａ)^2＝(√(ａ)i)^2＝√(ａ)^2・i^2＝-ａ
となり、同じくルートの定義から外れます。
＊ここで複素数のルートに対して虚数単位の係数が正の方を採用しましたが、これは定義がいまいちわかっていないため、間違っている可能性があります。

3.よく√(ｘ^2)＝ｘとしている記述が見られるが、正確には√(ｘ^2)＝|ｘ|ではないか？
様々な式変形でこのようなルートの外し方が見られますし、実際僕も前者の様に思っていましたが、正解は後者ではないでしょうか？となると前者を前提とした式変形は間違っていた、という事になるのでしょうか？

よくわかっていない部分がありますので全く見当違いな事を言っているかもしれません。その辺も含めて教えて下さるとうれしいです。
よろしくお願い致します。

回答No.1

masudaya · ベストアンサー

1.虚数単位iの定義は
i=√(-1) だったと思います.
つまりx<0のルートは
√(x)=√|x|*i
となると思います.
平方根は±√|x|*iですね.
2.a自体が正か負か分かりませんが,正のすうとして
√(-a)^2=√(a^2)=a
だと思います.負数まで考慮に入れると
√(-a)^2=√(|a|^2)=|a|
(計算順序は２乗が先だったと思います.)
となると思います.
3.基本的にはおっしゃるとおりだと思います.
ただ,実際に計算すれば,分かることですので,
省略していても気にならないだけでしょう.
(きちんと気にしていて,一番最初のほうに
正の数として定義している場合もあります.)

お礼

あ、自分の勘違いに気付いた気がします。
そもそも負の数の平方根が考えられないから新たな定義として虚数単位を持ってきたんでしたね。
だから、正の数ａに対して
√(-ａ)＝√(ａ)*√(-1)＝√(ａ)*i
ですね。
つまり、ａの平方根のうち正の数(つまりａのルート)に虚数単位iをかけたものが負の数(-ａ)のルート、という解釈ですよね。
これなら±√(ａ)iが正か負か(おそらくどちらでもない)という問題を避けることができますね。
ありがとうございました。

補足

＞計算順序は２乗が先だったと思います.
つまり、ルート全体に累乗がかかっている場合、ルートの中身を累乗し、その後ルートの計算を行う、という事でしょうか？
例：×√(4)^2＝2^2＝4
○√(4)^2＝√(4^2)＝√(16)＝4

回答No.3

debut

No2です。

はい、おっしゃられている意味がわかりました。
確かにルート４は？といえば、それは２である、と正の方だけを言いますね。
つまり、単に「ルート」と言うだけならそれは「＋√」を暗に言っているのだから
正だけなので、平方根とは違うということですね。
そういう意味でしたらおっしゃられていることは正しいです。

「ｘの平方根は二乗してｘになる数（正と負がある）、ｘのルートはｘの平方根のうちの
正の方（当然、正しかない）」ということです。

＞ルートの計算では累乗は中に入れて先に計算することになっているのでしょうか？
　　√(-2)^2＝√4　とするということですか？
　　これは、前回の回答の√x^2＝｜x｜ということがきちんと理解できていれば必ずしも
　　そうしなければならない、ということはありませんが、負の数を含むときは計算した
　　方がやりやすいかなと思います。

お礼

>前回の回答の√x^2＝｜x｜ということがきちんと理解できていれば必ずしもそうしなければならない、ということはありません
そうですね。最終的に絶対値がつくという事さえ忘れなければどちらから先に、というものではないですね。
お礼が遅れまして申し訳ありませんでした。
ありがとうございました。

回答No.2

debut

＞確認事項
＞1.平方根と√(ルート)は違うもの
　　　平方根とは２乗してｘになるものですが、√はそれを表す記号ですから、同じと
　　　考えてもいいでしょう。
　　　例えば、２の平方根は√２、－√２
　　　　　　　４の平方根は√４＝２、－√４＝－２

＞2.ルートの計算で、ｙ＝f(ｘ)＝√(ｘ)^2としたとき、ｙ＝ｘ
　　　後でご指摘のように、ｙ＝｜ｘ｜となります。
　　　例えば、√(－２)^2＝√４＝２ですから、√(－２)^2＝｜－２｜＝２

＞ここで質問です。
＞1.ｘ＜0の時、ｘの平方根、ルートはどうなるのか？
　　　正のときと同じく、√を使いますが、とくに√(－１)＝ｉと表します。
　　　例えば、－２の平方根は√(－２)＝√２ｉ，－√(－２)＝－√２ｉ
　　　　　　　　（※このｉは√の外にあります）

＞2.√(-ａ)^2はどうなるのか？
　　　√(-ａ)^2＝√ａ^2＝ａ　です。

＞3.よく√(ｘ^2)＝ｘとしている記述が見られるが、正確には√(ｘ^2)＝|ｘ|ではないか？
　　　おっしゃる通りです。

補足

4の平方根は±√(4)＝±2ですが、
4のルートは2のみなので、平方根とルートは違うものではないですか？

あと、今気が付いたのですが、√(-ａ)^2＝-ａと考えた時、-ａ＜0のためルートの定義から外れる、というのは間違いですね。右辺の-ａはルートを２乗した後の値なので、正負は問題になりません。失礼致しました。まぁどちらにしろ間違っていたようですが。
ルートの計算では累乗は中に入れて先に計算することになっているのでしょうか？