3次方程式の解法（カルダノの公式）

質問

現在、3次方程式をカルダノの方法で解いているのですが、

以下に示すＵＲＬにある一文の、

「カルダノの公式を用いると

x3 + p x + q = 0

という三次方程式は

式Ａ（何故かコピペできません・・・仮に式Ａとします）

の時に負の数の平方根が現れる。これは、この方程式の判別式
D = − (4 p3 + 27 q2) > 0
と同値な条件であり 3 つの異なる実数解を持つ条件である。実数解しかないのにも関わらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある。カルダノは負の数の平方根を計算に用いることはあったものの、それらの場合は不可能で役に立たないものと考えていた。」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

なぜ、式Ａでは平方根の中がマイナスになり複素数がでてくるのに、実数解を持つ条件なのか理解できません。　上のＤ＞０と同値な条件というのもなんだか納得いきません。どなたか教えていただけませんか？

の意味が理解できません。まず、

回答No.1

f272 · ベストアンサー

x3 + p x + q = 0
の解をα、β、γとすると、判別式とは
D=(α-β)^2*(α-γ)^2*(β-γ)^2
のことである。ここで
α+β+γ=0
αβ+βγ+γα=p
αβγ=-q
の関係があることから
D=-(4p^3+27q^2)
が導けるし、α、β、γのうち少なくとも1つが実数で、残りの2つが虚数であれば互いに共役だから、「D>0」と「α、β、γが相異なる実数である」が同値であることも簡単。

回答No.2

Tacosan

きれいな考え方は #1.
泥臭くいくと, 分解方程式の解 u^3, v^3 から元の方程式の解は
u+v, uω+vω^2, uω^2+vω
と書けるわけだけど, このうち少なくとも 1つは実数です. で u^3, v^3 が実数である場合には u と v をいずれも実数ととることができ, 後ろ 2つが「複素数か等しい実数」となります.
これに対し u^3, v^3 が複素数の場合には u, v として共役な複素数が選ばれ, このとき 3つはすべて異なる実数になります.