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Ａなら○、Ｂなら×の見極め方
問 １から６までの互いに異なる数字が１つずつ書かれた６個の球が 入っている箱がある。この箱の中から１個の球を取り出し、書か れている数字を確認して元に戻すという操作を３回行うとき、取 り出された球に書かれた数字の最大値が４である確率はいくらか。 僕の解き方 ３回取り出すうち、最低でも１回は絶対に４でなければならない わけだから、(1/6)×（4×6）×（4×6）＝16/216 さらに、４が出るのは１回目・２回目・３回目と３つのケースが 考えられるため、（16/216）×3＝48/216→2/9 ところが、この数字は選択肢にはなく、全く違う数字が正解にな っていました。しかし、なぜこの数字が×で、正解が○なのかが 解説を読んでもわかりませんでした…。 ☆僕の解き方は、どこが抜け落ちているのですか？ ☆問題文のどこをヒントに「この解き方を使えばいい、僕のやっ たやり方は×である」、と見極めればよいのですか？ いつも書いていることですが、間違っているとされていること、 正しいとされていることが、なぜそうなのかがさっぱりわからな いんです。ハッキリと目にみえる証拠がないですし、自分のたて たやり方でも、ちゃんとつじつまはあっています。 一度勉強したものであれば、Ａが○・Ｂが×と知識として知って いるから解けますが、はじめての問題をやる度に混乱してしまい ます。宜しくお願いします。
- 数学・算数
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- tsuyoshi2004
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真っ向から問題を解くと 場合わけをすると、 １回目に４を引いて、残り２回が３以下 １／６Ｘ３／６Ｘ３／６＝９／２１６ ２回目に４を引いて、残り２回が３以下 １／６Ｘ３／６Ｘ３／６＝９／２１６ ３回目に４を引いて、残り２回が３以下 １／６Ｘ３／６Ｘ３／６＝９／２１６ １回目２回目に４を引き、残り１回は３以下 １／６Ｘ１／６Ｘ３／６＝３／２１６ １回目３回目に４を引き、残り１回は３以下 １／６Ｘ１／６Ｘ３／６＝３／２１６ ２回目３回目に４を引き、残り１回は３以下 １／６Ｘ１／６Ｘ３／６＝３／２１６ ３回とも４を引く １／６Ｘ１／６Ｘ１／６＝１／２１６ なので、全て合計して ３７／２１６ となります。 別の解き方を考えると・・・・・ 少なくとも１回でも５か６が出たら、条件に当て嵌まらないので 全てが４以下の確率は ４／６Ｘ４／６Ｘ４／６＝６４／２１６ しかもそのうちで３回とも３以下でも条件に当て嵌まらないので、 全てが３以下の確率 ３／６Ｘ３／６Ｘ３／６＝２７／２１６ は除外する。すると ６４／２１６－２７／２１６＝３７／２１６ となります。 この場合分けの方法をよく理解しないと類似の問題はわからなくなります。 わかりやすくするのに各回を５以上、４、３以下にして、それぞれに×、○、△とします。 組合せは（左から１回目、２回目、３回目とします。） ×××、×○×、×○○、×○△、×△×、×△○、×△△ ○××、○○×、○○○、○○△、○△×、○△○、○△△ △××、△○×、△○○、△○△、△△×、△△○、△△△ と２１通りに分かれます。 このうち条件を満たすのは、×が１個も無く、○が１個でもあるものなので、 ○○○、○○△、○△○、○△△、△○○、△○△、△△○の ７通りとなります。 なので、この７通りを単純に合計したのが最初の解き方です。 一方では、該当しないのは、 ×××、×○×、×○○、×○△、×△×、×△○、×△△、○××、○○×、○△×、△××、△○×、△△×、△△△ の１４通りです。 が、よく見るとこの該当しない１４通りは、一つでも×がある場合が１３種類で、その他に全て△が一通りあるだけです。 なので、×が一つも無い８通りから全て△の一通りを引いたのが、後者の解き方です。 確率の問題の前に組合せをしっかりと理解しないとこの手の問題は難しいです。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
そうそう, (高校くらいまでの) 確率なら, 「こうやれば絶対」という解き方がありますよね. １．条件に合致するすべての場合を重複なく書きだす ２．それらすべての場合の確率を求める ３．上で出たすべての確率を合計する もしくは ０．可能なすべての場合を重複なく書きだす １．条件に合致するすべての場合に丸をつける ３．「１で丸をつけたものの個数」/「０で書きだした個数」が確率 こういう「基本中の基本」を抑えておけば, どんな問題でも解けます. なので, まずは愚直にやってみる. そのうち「なんかあほらしい」と思うようになる (はずな) ので, 書いた紙を見て「どう考えるともっと簡単になるのか」を考える. ... ああ, やっぱり「考える」ことは必要ですねぇ.
お礼
ありがとうございます。 今回のアドバイスを読んでふと思ったのですが、ひょっとして、 そんなに式を使って問題を解くことにこだわらず、指折りで数 えるようなやり方でもＯＫ、ということなのでしょうか。 僕は、できればＡなら○、Ｂなら×、だからＡを使って…とい うことができるようになりたいのですが…。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
＞ 一度勉強したものであれば、Ａが○・Ｂが×と知識として ＞ 知っているから解けますが、はじめての問題をやる度に混乱 ＞ してしまいます。 相変わらず、覚えて思い出してるだけで、考えてないなぁ… 頭を使うのは嫌いなの？ ＞ 自分のたてたやり方でも、ちゃんとつじつまはあっています。 貴方のやり方で辻褄が合っているとすれば、「正解」のほうは 辻褄が合っていない… ということなんだけれども。 印刷された模範解答にも、無論、間違いはありえる。ときには、 むしろ、貴方の解答のほうが正しいのかもしれない。しかし、 食い違う二つの解答が、両方正しいということはありえない。 「ちゃんとつじつまはあっています」は、辻褄が合わない箇所を 見つける手間をサボっているのだ。手抜きをするから、次回に できるようにならない。貴方の辻褄がオカシイのか、「正解」の 辻褄がオカシイのか、見極めるまで考えること。それを理解せずに 「正解」の解法を暗記しても、その問題を勉強したことにはならない。 勉強したフリをしているだけだ。 この「問」の場合、貴方の「解き方」の問題箇所は、 ４が二回以上出る可能性を無視したこと。 それを自力で発見するためには、皆さん書いておられるように、 全例書き出してみるのがよい。６×６×６通り全て書き出すのは ミスが起こりやすいだろうから、適当に問題のサイズを縮めて、 １から４までの互いに異なる数字が１つずつ書かれた４個の球が 入っている箱がある。この箱の中から１個の球を取り出し、書か れている数字を確認して元に戻すという操作を２回行うとき、取 り出された球に書かれた数字の最大値が３である確率はいくらか。 …などを考え、貴方の「解き方」で出る答えと、全例列挙で出る答えが 一致するかどうかを見て、「解き方」がちゃんと機能しているか確認する。
お礼
arrysthmiaさん、こんばんは。arrysthmiaさんからのコメント もこれまたずいぶん久しぶりですね。 ＞辻褄が合わない箇所を見つける手間をサボっているのだ。 つまり、Ａなら○、Ｂなら×、と見極めができるヒントは、 どうやって発見したらよいのですか？？ ＞「解き方」の問題箇所は、４が二回以上出る可能性を無視した (1/6)×(3/6)×(3/6)×(3/6)であれば、４が二回以上出る可能性 を無視したといえるでしょう。でも僕の式では(1/6)×(4/6)とな っており、４がでる可能性もちゃんと考慮したつもりでした。 ちなみに、最後に３をかけたから、逆効果で、「４、４、４」を 三回数えてしまっているというのが問題点である、というのはた ぶんわかったと思います。
- R_Earl
- ベストアンサー率55% (473/849)
確率の分野を自習する時のアドバイスです。 > いつも書いていることですが、間違っているとされていること、 > 正しいとされていることが、なぜそうなのかがさっぱりわからな > いんです。ハッキリと目にみえる証拠がないですし、 証拠がないから困っているんですよね。 だったら、自分でその「証拠」を作ってしまえば良いんです。 確率の分野は、場合の数の分野の拡張です。 場合の数の最も基本的な解き方は 『考えられる場合を全て列挙する』です。 樹形図を使った解き方などがこれにあたります。 原始的ですが、最も分かりやすいですよね。 確率の分野においても、この方法を使って考えることが大事です。 > 僕の解き方 > ３回取り出すうち、最低でも１回は絶対に４でなければならない > わけだから、(1/6)×（4×6）×（4×6）＝16/216 > > さらに、４が出るのは１回目・２回目・３回目と３つのケースが > 考えられるため、（16/216）×3＝48/216→2/9 最終的な答えの(約分前の)分子は48です。 つまり質問者さんは 『3回球を取り出した時、書かれた数字の最大値が4である場合の数は48通りである』 と考えたわけですよね。 では、その48通りの場合を列挙してみましょう。 その列挙した48通りが「質問者さんの考え方が間違っている証拠」となります。 また、この48通りの場合は「質問者さんの考え方が間違っている理由」も示してくれます。 自分の出した答えが正解ではなかった場合、 自分の考えた場合を全て列挙することによって、検証することができます。 当然、場合の数が多くなると大変になります。 しかし48通りぐらいであればそれほど大変でもないと思います。
お礼
ありがとうございます。 そうですね。確かに一つ一つ数えれば僕でも理解しやすいと思います。 実際には式を使って問題を解くのが本来なすべきことですから、「Ａの式なら○、Ｂの式なら×。だからＡの式を使って問題を解こう」ということができるようになりたいのです。
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
一応言っておくと ４が 一回だけ出る…3C1*(1/6)*(3/6)^2 二回だけ出る…3C2*(1/6)^2*(3/6) 三回出る…(1/6)^3 時のそれぞれの確率（もちろん４以外のときは３以下）を求めて足せば同じ答えが出ます
- makoto_y
- ベストアンサー率17% (13/74)
すいません、私間違ってましたね。 正解は (4/6)×(4/6)×(4/6)－(3/6)×(3/6)×(3/6)＝ (64/216)－(27/216)＝ 37/216 ですね。 失礼しました。
お礼
ありがとうございます。 テキストの解説も、makoto_yさんと同じ解き方でした。しかし、 なんでその解き方なら○、こうすれば解ける、とわかるのです か？？なにをヒントにすればよいのですか？？
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
それであってますよ＞#5. より簡単に考えるなら ・「最大値が 4以下である確率」=「3回とも 4以下である確率」=(4/6)^3 から ・「最大値が 3以下である確率」=「3回とも 3以下である確率」=(3/6)^3 を引くと ・「最大値が 4である確率」=37/216 となります. もとにもどると, 明らかに「数えすぎ」です. 4-4-4 という組合せを 3回数えたりしてるし. 「最大値が 4 である確率」ではなくて「最大値が 2 である確率」はその考え方だと (1/6)×(2/6)×(2/6)×3 = 1/18 =12/216 だけど, 最大値が 2 である場合を 12通り列挙できますか?
お礼
ありがとうございます。 ＞4-4-4 という組合せを 3回数えたりしてるし 他の方のアドバイスにあった、「重複している」というのは、 このことなのでしょうか。少しすっきりした感じがします。 テキストの解説は、Tacosanさんの解き方と同じでしたが、 何をヒントにその解き方なら○、と見極めたらいいのでしょ うか？同じ問題を解いた経験があれば、Ａなら○、Ｂなら× と、知識として判断がつきますが、全く経験したことがない ことだと、そんなに簡単に自信のある判断はつかないですよ ね。 やはり問題が解けるようになるキーワードは、色々な問題を 解いて経験を積むの一言に尽きるということでしょうか…。
- 33550336
- ベストアンサー率40% (22/55)
回答については下で既に出そろっているのでアドバイスを。 毎回貴方の質問内容を見て思うのですが、ここで質問する前にもう少しよく考えてみるべきです。 少なくとも高校レベルまでの数学なら、間違った答えがでたのなら、その解答は必ずどこかに誤りがあります。 それをもう少し自分の力でよく考えてみるべきです。 今回の場合数え方に重複があるわけですが、こんなもの具体的に書き出したりすれば容易に気づくことができます。 そういう努力もせずに質問ばかりしていては、いつまでたっても自分の力で解答の誤りに気づくことはできません。 どのくらい考えているかは知りませんが、最低数時間ぐらいは考えてみるべきだと思います。
お礼
ありがとうございます。 そのテのアドバイスは今までに幾度となく書き込まれているため、 僕もまた、毎回同じことを書き込むことになりますが、「考えた だけで解けるなら今ここで苦労はしません。考えても、解けない から苦労している」のです。 ＞今回の場合数え方に重複があるわけですが 「重複がある」というのは、どこからでてきたのでしょうか？？ 何をヒントに、僕の解き方では「重複がある」と発見すればよい のですか？？
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
hypnosisさん おっす お久しぶりです。 ＞＞＞ ３回取り出すうち、最低でも１回は絶対に４でなければならない わけだから、(1/6)×（4×6）×（4×6）＝16/216 さらに、４が出るのは１回目・２回目・３回目と３つのケースが 考えられるため、（16/216）×3＝48/216→2/9 なるほど。 ４が１回で、残りの２回が４以下という考え方ですね。 しかし、これには問題点があります。 たとえば、３が１回、４が２回ならば、最大値は４です。 そのパターンは、 （４，４，３）、（４，３，４）、（３，４，４） の３通りがありますね。 ここで、（４，４，３）は、 ・１回目に １／６ の確率で４が出て、２回目は４／６ の確率で４以下が出た と考えることもできますし、 ・１回目に ４／６ の確率で４以下が出て、２回目は１／６ の確率で４が出た と考えることもできます。 つまり、２つの「４」が区別できないわけで、 １／６ × ４／６ × ４／６ という考え方には、ダブりがあるのです。 ------------------ さて、 この問題を解く最良の方法は、２つの余事象を考えることだと思います。 ＜２つの余事象＞ ａ）３回とも３以下の数が出る ｂ）３回の中で５か６が１回以上出る これら以外のケースでは、必ず最大値が４になります。 そして、ａとｂには重複がありません。 ですから、 最大値が４の確率 ＝ １ － ａの確率 － ｂの確率 です。 ａの確率は、（３／６）^3 です。 ｂは、「３回とも４以下が出る」の余事象なので、確率は １ － （４／６）^3 です。 以上のことから、最大値が４になる確率は、 １ － ａの確率 － ｂの確率 ＝ １ － （３／６）^3 － （１ － （４／６）^3） ＝ － （３／６）^3 ＋ （４／６）^3 ＝ （－３^3 ＋ ４^3）／６^3 ＝ （－２７ ＋ ６４）／６^3 ＝ ３７／６^3 以上、ご参考になりましたら幸いです。
お礼
sanoriさん、こんばんは。本当にお久しぶりですね。僕は もう最近は、テキストもろくに触らないのが日課になって しまっています…。 ＞４が１回で、残りの２回が４以下という考え方ですね。 はい。この解き方なら、「最低でも一回は４がでる」「５と ６は取り出さない」「４を二回以上出す可能性も考慮されて いる」と、きちんと全ての要素を含んで計算できていると思 いました。 ・１回目に １／６ の確率で４が出て、２回目は４／６ の確率で４以下が出た と考えることもできますし、 ・１回目に ４／６ の確率で４以下が出て、２回目は１／６ の確率で４が出た と考えることもできます。 えぇーっと、それって、何かいけないことなんでしょうか？ 僕の式では、最後に３をかけることによって、全ての取り出し方を 計算したつもりなのですが、それではまずいのですか？？
- ipenge
- ベストアンサー率14% (1/7)
(４、４、４） ４が３かいでる 1通り (４、１、４） ２ ３Ｃ２×３通り←３ですよ (４、２、３） １ ３Ｃ１×3×3通り←３ですよ と3つの場合にわけないと組み合わせがダブりますよ。 すべての場合は6×6×6通り だから37/216 反復試行とは違いますよ。 概念は基礎となるものから順にはっきりさせて 進んだほうがいいですよ。(教科書とか参考書とか先生とか友達とかで) まずは大雑把につかめればいいと思いますよ。 僕も数学苦手なんでこれが限界です(笑) 逆に答えあってますか？(笑) 自信ないんで信用はあまりしないでください(笑)
お礼
ありがとうございます。 ＞すべての場合は6×6×6通り これは僕でもわかります。しかし、 ＞と3つの場合にわけないと組み合わせがダブりますよ。 ここがよくわかりません。「４、２、３」と「４、３、２」は 同じものとして数えなければいけないのですか？率直な感想と しては、順番で３回続けて球を取り出すわけだから、順番が違 う以上別物とし数えるべきと思いますが、「最大値が４であり さえすればいい」という問題の設定が、それを排除する根拠と いうことでしょうか？？
お礼
僕のためにたいへんな労力をかけて書いてくださったことと 思います。どうもありがとうございます。 つまるところ、やはりこの問題を解くためには、 ６４／２１６－２７／２１６＝３７／２１６ の式がベストということなのですね。この解き方以外の解き方で 問題を解けという設定がきたらアウトですが、これからはこの解 き方をつかうようにすれば、まずは一安心ですね！