数学Ａ 確率（組み合わせ）

質問

前回 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1478775
に続き、分からない問題があるのでアドバイスお願いいたします。

■問
０から９までの数字を書いた球が10個ある。
この球をランダムに３個選ぶとき、選んだ球に書かれた数の合計が８以下となる確率を求めよ。

これも書き出せば分かるのですが、その他の考え方があるのか教えていただければと思います。

一応答えは、合計が8以下となるのは
3(0,1,2)
4(0,1,3)
5(0,1,4)(0,2,3)
6(0,1,5)(0,2,4)(1,2,3)
7(0,1,6)(0,2,5)(0,3,4)(1,2,4)
8(0,1,7)(0,2,6)(0,3,5)(1,2,5)(1,3,4)
の16通りあるので、16/(10Ｃ3) = 2/15
なのですが、一般に、
『ｋ個の異なる非負整数の和がｎ以下となるような非負整数の選び方は何通りあるか。』
という問題は簡単に考えられるのでしょうか。

回答No.4

sunasearch · ベストアンサー

>p(n,3)ですと、同じ自然数を含んでしまうような気がしたのですが…。
しかしながら、やはりｎ以下のそれぞれの値の総和という風にして求めることになるのですね。

n以下の場合、
p(n-3,3)+p(n-4,3)+...+p(1,3)+p(0,3)
=Σ{k=0,1,...,n-3}p(k,3)

というのが私の回答です。
わかりにくくてすみません。

n個から３個予めボールを取り出して、
(0,1,2)という値が違う組み合わせを作っておいて、
残りのボールをp(x,3)で分けて、分けられた数字を小さい順に並べた上で、最初の(0,1,2)に加えると、同じ数字はできません。

たとえば合計が８になるのは、
(0,1,2)+{(0,0,5)(0,1,4)(0,2,3)(1,1,3)(1,2,2)}
=(0,1,7)(0,2,6)(0,3,5)(1,2,5)(1,3,4)
で、
この５通りというのは、p(5,3)に等しくなると思いました。

お礼

そういうことでしたか。失礼しました。
確かに同等となりますね。
参考にして考えさせていただきたいと思います。

回答No.3

sunasearch

簡単に言うと、

前回質問のgraphaffineさんの表記を拝借すると、

p(5,3)+p(4,3)+p(3,3)+p(2,3)+p(1,3)+p(0,3)
で求められるのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
p(n,3)ですと、同じ自然数を含んでしまうような気がしたのですが…。
しかしながら、やはりｎ以下のそれぞれの値の総和という風にして求めることになるのですね。

回答No.2

graphaffine

quadsさん、今晩は。前の問題でもそうですがタイトルに数学Ａと入っているのは違和感有り過ぎです。確かに問題は高校レベルかもしれませんが、求める方法は大学レベル（あるいはそれ以上）です。
初めは学生が学校の課題を聞いているのかと思いましたが、どうやら違うようですね。単なる趣味でしょうか。
でしたら、同好の士としてうれしい限りです。

前置きはこれぐらいにして、

＞『ｋ個の異なる非負整数の和がｎ以下となるような非負整数の選び方は何通りあるか。』
＞という問題は簡単に考えられるのでしょうか。

多分簡単ではないと思います。ですので、条件を多少緩めた次の問題について書かせていただきますのでご参考まで。
「異なる自然数の和がちょうどｎとなるような組合せの個数を求めよ」

解　(1+x)(1+x^2)(1+x^3)・・・のx^nの係数が求めるものである。

理由はあえて書きませんが、何となくわかりますよね。
この方法は組合せ論で強力な道具である母関数に関係します。私も勉強中なので詳しいことは勘弁させてもらいますが、興味があれば前の質問の文献１を御覧ください。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに数学Ａの問題を拡張してしまっているので不適切だったかもしれません。
しかし適切なタイトルが思い浮かばなかったので失礼させていただきました…。
そうですね、単なる趣味かもしれません…

紹介いただいた式が正しい理由は何となくわかりましたが、何となくなのでもう少し突き詰めてみたいと思います。

母関数についても少し触れてみました。
でも今の知識ではあまり理解できませんでした。。

紹介していただいた文献１は何か見つかりやすい気がするので見つけたら読みたいと思います。

回答No.1

sunasearch

３つの数が違うので、ベースに
[A] (0,1,2)
という組み合わせを作ると、
場合の数は、これに、

[B]
0(0,0,0)
1(0,0,1)
2(0,0,2)(0,1,1)
3(0,0,3)(0,1,2)(1,1,1)
4(0,0,4)(0,1,3)(0,2,2)(1,1,2)
5(0,0,5)(0,1,4)(0,2,3)(1,1,3)(1,2,2)

を加えたものです。

つまり、前回のご質問の
5個の区別のないボールを、３つの区別のない箱に入れる場合の数　＋
4個の区別のないボールを、３つの区別のない箱に入れる場合の数　＋
...　＋
0個の区別のないボールを、３つの区別のない箱に入れる場合の数

になるかと思います。

＃[A]が１差で昇順。[B]が昇順（等しいか増える順番）ですので、全ての場合を網羅できると思います。

お礼

回答ありがとうございます。
でも、内容が理解できませんでした。。
私が解釈を勘違いしているだけかもしれませんが、どういう意味なのでしょうか…。
恐縮です。