【統計検定】条件付き確率 黒い球を取り出したという

質問

統計検定3級の問題なのですが、どなたか教えていただけませんでしょうか。

問11）
1 ～ 3 の番号の振られた箱が1 個ずつ，合計3 箱ある。
それぞれの箱には5 個の球が入っており, そのうち，
その箱に振られた番号と同じだけの球が黒色を，それ以外の球は白色をしている。

このとき，3 つの箱から無作為に箱を1 つ選び，選んだ箱の中から
無作為に1 つの球を取り出す。
この試行で黒い球を取り出す確率をP1，
1 の番号の振られた箱を選ぶ確率をP2 とする。
また，1 の番号の振られた箱から1 つの球を取り出したときに，
黒い球が取り出される確率をP3 とする。
このとき，黒い球を取り出したという条件のもとで，
最初に選んだ箱が，1 の番号が振られた箱である確率を答えよ。
http://www.toukei-kentei.jp/about/pastpaper/2013/2013grade3.pdf

私は、P2×P3だと思うのですが、正解は、P2×P3/P1です。

おそらく、「黒い球を取り出したという条件のもとで，」を考慮する必要があると思うのですが、
なぜP1で割れば良いのかが割れません。

どなたかご教示いただけませんでしょうか。

（ちなみに、高校卒業程度の数学の知識はあります。）

回答No.3

MagicianKuma

No2さんが詳細に回答されておられるので付け加えることもないのだけど。
条件付き確率を考えるヒントとして極端な場合を想像してみたらどうでしょう。たとえば、箱は2つとして、1の箱には黒1個白99個、2の箱には黒99個白1個入っているとします。
さて、この2つの箱から1つを無作為に選び、どっちを箱を選んだか確認せずに、球を選んでみたら黒だった。さて振り返ってどっちの箱を選んだのだろうと考えてみると、圧倒的に2の箱だと思いませんか？
超極端な場合、仮に1の箱は白ばっかり、2の箱は黒ばっかりだったとすると、最終的に選ばれたのが黒球だったら、100%2の箱ですよね。そのように考えると条件付き確率の意味が理解できるかも。

お礼

ご回答ありがとうございます！

極端な場合の例が分かりやすく、イメージつけることができました。
ありがとうございます。

回答No.2

QoooL

他の質問への誘導ですみませんが、

条件付確率の問題ですー高校数学
http://okwave.jp/qa/q8646172.html

とそっくりの問題なので、そちらの私の解説もご覧ください。

今回、確率が全部Ｐなのはややこしいですね。
まあ、注意を払いながらご覧ください。

１の箱を選ぶ確率は与えられた通り　Ｐ2　です。
２の箱を選ぶ確率を　　　　　　　　Ｐ4、
３の箱を選ぶ確率を　　　　　　　　Ｐ5　とおきます。

１の箱が選ばれたもとで　そこから1つの球を取り出したときに黒い球が取り出される条件付き確率は与えられた通り　Ｐ3　です。
２の箱が選ばれたもとで　そこから1つの球を取り出したときに黒い球が取り出される条件付き確率を　　　　　　　　Ｐ6、
３の箱が選ばれたもとで　そこから1つの球を取り出したときに黒い球が取り出される条件付き確率を　　　　　　　　Ｐ7　とおきます。

すると、
１の箱が選ばれて、黒い球が取り出される　という確率は　Ｐ2ｘＰ3　です。
（日本語に気を付けてください。）　これを１由来の黒い球、と呼ぶことにします。

Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝Ｐ（Ａ）・ＰA（Ｂ）
(ＰA（Ｂ）は、Ａが起きた下でＢが起きる条件付き確率)
という公式を覚えていらっしゃいますか？

同様に２の箱が選ばれて、黒い球が取り出される　という確率は　Ｐ4ｘＰ6　です。
これを２由来の黒い球、と呼ぶことにします。

３の箱が選ばれて、黒い球が取り出される　という確率は　Ｐ5ｘＰ7　です。
これを３由来の黒い球、と呼ぶことにします。

よって、黒い球を取り出す確率は、
　　Ｐ1＝Ｐ2ｘＰ3＋Ｐ4ｘＰ6＋Ｐ5ｘＰ7
となりますね。これ以外に黒い球を取り出す方法はありません。これを全体と呼ぶことにします。

黒い球を取り出したという条件のもとで，
最初に選んだ箱が，1 の番号が振られた箱である確率

というのは、全体の確率の中で、それが１由来である確率、です。だから
　　Ｐ2ｘＰ3／（Ｐ2ｘＰ3＋Ｐ4ｘＰ6＋Ｐ5ｘＰ7）
です。
すなわち
　　Ｐ2ｘＰ3／Ｐ1
です。
事後確率とも言うみたいですね。

お礼

丁寧がご回答ありがとうございます。

なんとなく、やりたいことはわかるのですが、
いまいちピンときておりませんでした。

丁寧に教えていただき、イメージ付きました。
ありがとうございます。

回答No.1

rabbit_cat

まさに、高校の数学で習う内容そのものです。。教科書を見直してみてください。
現行の教育課程だと、高校１年の数学Ａで習うはずです。（２０年ほど前までは高校２年で、その後、つい２年前までは高校３年で習っていましたが）

お礼

ご回答ありがとうございます。

高校卒業し、10年以上もたっておりました。
軽々しくできるというものではない気がしてきました。

ありがとうございました！