確率でわからないこと

質問

ひとつの箱の中に、異なる4色の玉が１個ずつはいっている。玉をよくかき混ぜて、１個取り出し、色を確かめてから箱に戻す操作を４回繰り返す。
　このとき、取り出した玉の色の種類の数をX,同じ色の玉の個数の最大数をYとする。

問　X=3かつY=3である確率を求めよ。　答え　9/16

・取り出し方の総数は 4^4 ですが、なんでそうなるかわかりません。
重複とかってどうなったんですか？　

・この問題は確率のどの単元ですか？

確率の問題は重複を考えないっていいますが、どういうときに重複を考えたり考えなかったりするのかがわからなくて、センター試験のちょっとひねった問題が毎回できないです。

回答No.5

B-juggler

Ｎｏ．２さんのであってるよ～。

どこの話とか、そんなのは関係ないから。

センター試験の問題を如何にスムーズに解くか？

の前に、樹形図から慣れた方がいいと思うよ。

やっていることは同じなんだから、毎回つまずくのなら、基本からしっかりやったほうがいい。

樹形図かいてみて？

ＡＢＣＤってやって、３６とおりしかないからね。
　＃Ａを二回ならね。　ＢＣＤにおきなおして、４倍するんだから。

積み重ねなんだから、裾野は広いほうがいい。
タワー建てたら、ちょっとで崩れるよ？

一回戻った方がいいと思うけれど？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

代数学の元非常勤講師。
せのびして、一発！を狙うのが一番いかん！

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

X=3, Y=2 ではどれかの色が２個、残りは１個ずつなので
２個の色を軸に分けて考えればよさそう。

取り出す順番を区別するとして、場合わけすると

Aが２個のパターンでは Aの配置パターンが 4C2
のこりの２箇所に３種類から２種類選んで配置するパターンは 3 x 2
従って、Aが２個のパターン全体の数は
4C2 x 3 x 2 = 36個

同様に B, C , D が２個のパターンはそれぞれ 36個 だから、あわせて 144個

144/256 = 9/16

ちなみに 256 は取り出す順番も考慮した全ての場合の総数です。
１回で４パターンあるわけですから４回で組み合わせると２５６パターンになります。

で

>・取り出し方の総数は 4^4 ですが、なんでそうなるかわかりません。
>重複とかってどうなったんですか？　

何を重複と呼ぶかは場合わけの規則によります。

例えば玉を取り出す順番を考慮せずに場合わけすれば、場合の数は大幅に減ります。
つまり、順番を考慮しなければ順番を考慮した場合わけの中に重複が生じるわけです。
但し得られた各場合が同様に確からしいかは多くの場合明瞭ではありません。

確率の計算では各場合の「確からしさ」を正確に把握しないと計算できません。

この問題の場合、順番を考慮した場合わけでは全ての場合が同様の確からしさを持つことが
明瞭なので、順番を考慮した場合わけを使っています。

確率の問題を解く場合、各場合が「同様の確からしさ」を持つように場合わけするのが
一般的には楽です。もちろんそれでは解けないものもあります。

回答No.3

noname#180442

>取り出し方の総数は 4^4 ですが、なんでそうなるかわかりません。
　1回目取り出し方４通り、戻しているので2回目も４通り…よって、４×４×４×４通り

>この問題は確率のどの単元ですか？
　最近の教科書を見てないので判りませんが、重複順列かな。

　「重複」の意味ですよね。「繰り返して」とうい意味でしょうか。小学校や中学校で、樹形図というのを習ったと思います。これと比較しながら、考えると理解できます。この問題なら、「重複」しないで取り出すとすれば、1回目は４通り、2回目は１つ取り出してしまって箱には３個しかないから３通り、3日目目は２個取り出してしまってるから…４×３×２×１通り

　いずれにしても、順列や組み合わせは実際に書いてみて、徐々に理解していくと良いと思いますよ。

回答No.2

MSZ006

X＝３かつY＝３の場合、言い換えると「同じ色が２回出る」ということになりますね。
（同じ色の玉の「最大数」がYなので、実際に重複する個数は2でも１でもよい）

便宜上、玉の種類をABCDとすると、組み合わせは、
まずAで見てみると、
「Aが２回出る組み合わせ」
AA○○
A○A○
A○○A
○AA○
○A○A
○○AA

以上６とおりに、○はA以外の種類の玉なので、「３個から2個を選ぶ順列」６を掛けると、３６とおり　になります。
今、Aで見ましたがBCDも同じなので、全部で　３６×４＝144とおりになります。

これを全ての場合の数４＾4で割ると　9/16　になります。

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重複を考える／考えない　については、
たとえば、
「５人の中から役員２人を選ぶ」といったばあい、役員２人については区別しないので、重複は省くことになります。
これが、
「５人の中から班長と副班長を１人ずつ選ぶ」だと、班長と副班長は別物なので、重複は省くといったことは考えないことになります。

説明が下手で分かりにくいと思います、うまく説明できません・・・

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

３種類の玉が出たなら、同じ色の玉の数の最大値は２個ですよね？
従って確率は 0

なんか勘違いしてるかな？

補足

ごめんなさいY=2でした