考え方の出所がわからない解説

質問

問
箱と球が４個ずつあり、それぞれに１～４の数字が１つずつ書いてある。箱の中に球を１つずつ入れるとき、箱の数字と球の数字がすべて一致しない確率はどれか。

テキストの解説
まったく一致しない組合せは９通り
↓
求める確立は、９／（４×３×２×１）＝３／８

サッパリわからないんですが、（４×３×２×１）ってのは、一体どこからでてきて、何を求めるための式なのですか？

解説を読んでも、何をヒントにたてた式なのか全然わからないんです。全く同じケースの問題を解いたことがあれば、「この場合はこう解けばいい！」とわかりますが、同じケースの問題を解いたことがなければ、それはわからないことです。

宜しくお願いします。

回答No.8

noname#181872

#5さんも言っていますが、本当に組み合わせを数えましたか？
組み合わせを数えてなく、答えをみて24なんて少ないことないだろう、
と思ったのならまず数えてみましょう。
本当に数えたのなら重複や抜けがないか確認しましょう。

と、面倒くさい作業をするように言っていますが、これは面倒くさい作業を
することで見えてくるものがあるからなのです。

ちょっと問題から離れますが、貯金箱の中に硬貨があり、この貯金箱に
いくら入っているか、数えるとします。このとき、1枚ずつ取り出して、
1円+100円+5円+…とやっていると、計算ミスや数え間違いをする可能性があります。
それに対して、ひとまず貯金箱の中身をぶちまけて、1円玉でまとめて
その数を数える、5円玉でまとめてその数を…とやって、最後に掛け算、
足し算とすれば数え間違いをする可能性は減ります。

というわけで、問題に対してどのようにしてみたらいいか分からなかったら、
ひとまず面倒くさい作業をしてみるのです。で、面倒くさい作業をしつつ、
面倒くささを解消できる方法はないかを考えてみるのです。

では質問者様の問題に戻ります。
ひとまず箱と球にどのような組み合わせがあるか、紙に書いてみましょう。
このとき、箱の番号と球の番号が一致する場合、箱1球1箱2球2…
と書いてもいいのですが、書いていくだけで疲れてきます。
これを箱1に入っている球の番号が○、箱2に入っている球の番号が×、
箱3に入っている球の番号が△、箱4に入っている球の番号が□としたときの
書き方を（○,×,△,□）とすれば、見た目もすっきりします。
これも面倒くささを解消する一つの方法です。
さらに#5さんのように1番の箱に入っている球の番号が1だったら、
他はどうなるか、といった形で整理してみれば、重複や抜けが
防げる可能性が上がります。
このような整理をすることで法則性を見出していくのです。

もしも法則性が見えたら他のパターンに当てはめられるか確かめてみましょう。
今回は4つの箱と球ですが、その法則性が正しければ3つの箱と球や
5つの箱と球でも適用できるはずです（120パターン作るのは大変ですが）。

つまり、これまで考え方がどうこう、出てきた式の意味が云々あるいは
模範解答がどのような観点から立式しているか分からないといった質問が
多いのですが、模範解答はスマートに書いてあるのですから
もしもその模範解答側から分からなければ泥臭く問題から分かることを
いろいろ書き殴っていって、自分なりの法則を見つけるしかないのです。

> 全く同じケースの問題を解いたことがあれば、「この場合はこう解けばいい！」とわかりますが、
> 同じケースの問題を解いたことがなければ、それはわからないことです。

質問者様がどのような目的で数学を勉強しているか分かりませんが、
大学受験の数学などで問題を見た瞬間に解き方の筋道が分からないものも
よくあります。その場合はギブアップですか？
もちろん解き方の引出しを多く作っておくのは重要ですが、
泥臭いことから始めて解くことも重要だと思います。

> 「何をヒントにＡなら○、Ｂなら×とかぎ分ければよいのか？」
> 「Ａなら○でＢなら×だという証拠はどうやって見つければよいのか？」を知りたいのです。

泥臭いことをやっていないからです。泥臭いことをするというのは
単に列挙して理解しやすい形にすることやしらみつぶしをすることが
目的ではありません。問題の本質の理解に役立つのです。
問題を解く方法としてＢがダメな場合、ダメな理由があるのです。
ダメな理由に気付けないのは問題の本質を理解していないまたは
Ｂの解法の本質を理解していないのです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.7

yamsaru

ＮＯ３です。大変失礼しました…読み違いをしていたようで。
ただ「何を求める式なのですか？」と仰ったので
「何って、あらゆるパターン数に決まってるじゃないか。
　まさかそんなことも知らないのか？」と思ったものですから…

では何をヒントに（４×３×２×１）ならＯＫだと気付くのか、ですが。
……やっぱり大事なのは『常識』だと申し上げます。
ここで「えーと、前に似たような問題をやったっけ…」と
思い出そうとするようではダメなんです。
記憶に頼るのではなく、あくまでも『その場で常識的に判断する』んです。

つまり、目の前に番号を書いた箱が、四つあると想像する。
そして自分が、番号を書いた玉を、実際に入れていく手順を思い浮かべる。
「まず１の箱にはどの玉を入れよう…どれでもいいな…４通りか
　じゃあ、例えば(3)の玉を入れよう」

「次に２の箱にはどの玉を入れよう……残ってるのは(1)・(2)・(4)の玉か。３通りだ」
　…さっき(1)の玉を使ってたとしたら、今回残ってるのは(2)・(3)・(4)の玉か。
　　さっき(2)の玉を使ってたとしたら、今回残ってるのは(1)・(3)・(4)の玉だな。
　　さっき(4)の玉を使ってたとしたら、今回残ってるのは(1)・(2)・(3)の玉になる。
　…なるほど、さっきどの玉を使っても、今回使えるのは３パターンなわけだ…
　つまり、ここまでで（４通り×３通り）の計１２通りがありうるな…」

「では３の箱にはどれを入れようか。
　ここまでで玉は２個消費している……残るは２個だ。
　すでに(1)(2)の玉を使っていたら、残りは(3)(4)の２択だ。
　すでに(1)(3)の玉を使っていたら、残りは(2)(4)の２択だし
　すでに(1)(4)の玉を使っていたら、残りは(2)(3)の２択だ。
　……要するに、上の１２パターンが、ここでさらに２択に分かれるんだな…
　ということは、この時点で（４通り×３通り×２通り）の計２４通りか」

「さて最後の４の箱には何を…おっと、もう玉は１個しかないぞ。
　(1)(2)(3)を使っていたら、(4)しか
　(1)(3)(4)を使っていたら、(2)しか
　(2)(3)(4)を使っていたら、(1)しか残っていないじゃないか。
　何が残るかは、やってみないとわからないけど、
　とにかくこれ以上『次はどうしよう？』って迷う必要はないわけだ。
　なんにせよ、残ってるのを使うしかないんだからな。
　ということは、２４通りの可能性が更に枝分かれすることはない、と…」

「だから…よし分かった！全部で２４通りだ！」
大抵の人は、これを数秒で判断します。
「えーと、同じケースの問題をやった経験は…」なんて考えません。
あくまでもごく自然に、こうした数え方をみんなとっくに『知っている』んです。
なんでと言われても困ります。
それは「息を吸ったら、次は吐かなくちゃいけない」というのと同じくらい、
当然のこととして、誰もがただ『知っている』んです。
どうしても理由が必要なら……『それが常識だから』でしょうか？

ついでに例の従姉妹にも、電話で聞いてみました。
「おまえはなんでこの方法を知ってるの？これで正しいって、どうやって判断してるの？」
「なんで知ってるって……常識じゃん。
　だって数えようと思ったら、こうするしかないじゃん！他に方法なんかあるの？
　どうやって判断してるって……だから常識じゃん。
　これで正しいことくらい、本能的に分かるじゃん！もう切っていい？」

…純粋に疑問ですが、hypnosisさんには、こうした数え方は『常識』ではないのですか？
少なくとも女子中学生には、常識らしいですよ…

お礼

ありがとうございました。

回答No.6

arrysthmia

＞ 国語なら問題がスラスラ解けるのに、算数になると突然解けなくなるのはなぜか…

今回も典型にして類型ですが、貴方の質問を読むと、問題文に書いてある状況を
理解している気配が全く感じられません。算数力だの計算だの以前に、問題が何を
訊ねているのかを、読み取れるようにならないと、話になりません。

国語ならスラスラ解ける…　というのは、算数と違い、値が変になって途中で「あれ？」
と気づくチャンスがなく、参考書の解説を読んでも、模範解答と自分の答案の違いを
読み取ることさえできないために、何となく合っているような気がするだけで終わって
しまっている…　という状況ではないでしょうか。算数なら、答えの値が食い違えば、
誤答と認めざるを得ませんからね。

キーワードは、やはり、「読解力」なのだろうと思います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

owata-www

＞考えられる組合せを実際に一つ一つ並べて数えると、あっという間に
２４通りを超えてしまいます・・・。

なぜでしょうか？どのように組み合わせを考えて数えてますか？書き出しても24通りにしかならないはずです

左から1,2,3,4の箱に入れる球に書いてある数字だとして
(1,2,3,4)、(1,2,4,3,)、（1,3,2,4）、(1,3,4,2)、（1,4,2,3）、（1,4,3,2）
で１の箱に１の球を入れた時は６通りになります。２の箱に２の球を入れた時も６通りになります…
よって、6*4＝２４通りになるはずです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

arrysthmia

（４×３×２×１）ってのは、箱の中に球を１つずつ入れる入れ方の総数です。
それらの入れ方が各々等確率で現われる　…ということが、この問題の重要な、
しかし明記されていない仮定です。

確率の問題は、状況設定の中に何らかの確率が与えられていないと、解けません。
何も無いところから確率を生み出す錬金術は、存在しないからです。
できるのは、与えられた確率を使って、別の確率を計算することだけです。
このような、計算のタネになる確率のことを、その問題の基礎確率分布と呼びます。
確率の文章題では、問題文の中から基礎確率分布を抽出する国語力が大切です。
それが、問題の意味が読み取れたか？ ということだからです。

たいていは、「無作為に」とか「ランダムに」とかの語がある近辺に
基礎確率分布のことが書いてあるのですが、
今回の問題文には、そのようなキーワードが見られません。
「公式」や「パターン」や「ケース」に依存して、問題の内容を一切考えずに
何となくの流れで答えの値だけ入手する ような処世ばかりしていると、
こういう意地悪をされたとき、対処することができないのです。

お得意の「パターン」で言うならば、
確率の問題を見たら、基礎確率分布を探せ！ です。
その方法は、日本語の読解力を磨く以外にありません。

お礼

arrysthmiaさん、こんばんは。ずいぶん久しぶりですね。

壁は、この問題文の中から「何をヒントに（４×３×２×１）ならＯＫだと気付けばよいのか」、「なぜ（４×３×２×１）ならＯＫと判断できるのか」です。

実際におのおののケースを数えると、２４を簡単に超えてしまいます。また、一致しないケースが９通りとありますが、それを求める式自体テキストには説明されていませんでした（テキストでは、一つ一つ数えていました）。

いつも書いていることですが、「何をヒントにＡなら○、Ｂなら×とかぎ分ければよいのか？」「Ａなら○でＢなら×だという証拠はどうやって見つければよいのか？」を知りたいのです。

＞日本語の読解力を磨く以外にありません。
しかし、「この問題はＡの式を使えば解ける、Ｂの式では解けない。さぁ、Ａの式を使おう」と考えるためには、Ａの式を組み立てるだけの算数力が必要でしょう？国語なら問題がスラスラ解けるのに、算数になると突然解けなくなるのはなぜか…、ずばり、最大のキーワードはやはりここです。

回答No.3

yamsaru

すでに書かれている通り、それは箱に玉を適当に入れる方法を数えたものです。
全部でバリエーションは「４×３×２×１＝２４通り」あるのです。
そもそも確率というのは
　　「あらゆる状況（２４通り）を想定し、
　　　その中に、自分の望む状況がどれくらい存在するか（９通り）」
という意味です。
ゆえに２４通りのうち、望む状況が９通りならば「９／２４」なのです。

例えば「サイコロを振ると、奇数が出る確率は？」
→出るかもしれない目は全部で６通り
→そのうち望むのは１・３・５の３通り
→よって「３／６」つまり「１／２」
というのと同じことです。確率はこうやって作ります。

ただ……これは数学というより一般常識ではないんですかね…
逆にお尋ねしたいのですが、ではhypnosisさんは今日まで
「確率」を、いったいどういったものだとお考えだったのでしょう？
まさかとは思いますが、「要するに確率とは、これこれこういう物だ」という
実感をいまだにお持ちではないのですか？
そうだとしたら、これは嫌味でも何でもなく、実に驚くべきことです。
試しに中学生の従姉妹（成績は並）に聞いたところ
「いやいや常識じゃん！そんなの知らない人がいるの？！
　あたし馬鹿だけどそれくらい分かるよ！」と驚かれました…

＞同じケースの問題を解いたことがなければ、それはわからないことです。
hypnosisさんの仰る「同じケース」というのは、どの程度を指すのですか？
４箱が５箱になっただけとか、それくらい似てないと「同じケース」ではないのでしょうか？
これも従姉妹に聞いたところ、
「え、確率なんて、どんな問題も『同じケース』でしょ？
　だっていつだって『望む状況／全ての状況』で出てくるじゃん？

　っ　て　言　う　か、　そ　の　分　数　の　計　算　を　
　『確　率』っ　て　呼　ぶ　ん　じ　ゃ　な　い　の　？」

私もそう思います。hypnosisさんはそう思われないのですか？
「全てのパターンを求めたいのですが、
　なんでそれが４×３×２×１なんですか？」というならまだ分かりますが
「『全てのパターンを求めなきゃいけない』ことを知りませんでした」というのは…
正直に申し上げて、そういう方がいることが、とても私には信じられません。
道行く人に尋ねたら、子どもでもうすうす知っていることだと思います。

お礼

もう一度僕の書いたはじめの質問文をよく読み返してみてください。
（４×３×２×１）ってのは、一体どこからでてきて、何を求めるための式なのですか？、と質問しているのです。

よって、何をヒントに（４×３×２×１）を使えばいいと判断すればよいのか、なぜ（４×３×２×１）ならＯＫだと判断できるのかを質問しているのです。

回答No.2

simaku

４×３×２×１は
１番に入る玉の数は４通りある（１．２．３．４）
２番に入る玉の数は１番で選んだの以外ので３通りある
３番にはいる玉の数は１．２で選んだの以外で２通りある
４番にはいる玉の数は１個しかない
というところからきています。ようするに４P４なわけです

お礼

ありがとうございます。

しかし、実際に考えられるケースを一つ一つ数えると、２４をあっという間に超えてしまいます。

simakuさんは、なぜ「４Ｐ４でよい」と思ったのですか？何をヒントに「４Ｐ４を使おう」と思ったのですか？？

回答No.1

owata-www

＞（４×３×２×１）ってのは、一体どこからでてきて、何を求めるための式なのですか？
箱と球の組み合わせの場合の数です。

１の箱に球を入れる方法→4通り
２の箱に球を入れる方法→１で一個入れているので、３通り
３の箱に球を入れる方法→２通り
４の箱に球を入れる方法→１通り
よって、箱と球の組み合わせの方法は（４×３×２×１）通りになります。

確率の基本は
（求める事象の場合の数）／（全事象の場合の数）
です（日本語は怪しいですが…orz）。その基本に従えば見知らぬ問題でも対応できます

お礼

ありがとうございます。

＞（求める事象の場合の数）／（全事象の場合の数）
これはわかります。僕が感じた疑問点は、「なぜ４×３×２×１でよいのか？何をヒントに、この式ならＯＫだと判断すればよいのか？」なのです。

考えられる組合せを実際に一つ一つ並べて数えると、あっという間に
２４通りを超えてしまいます・・・。