積分がわからない！！

質問

電気磁気の問題を解いていて
次のような積分が出てきました。
(一応どのような問題かと言うと、導線zと同じ平面に半径aの円形の導線回路を置いて、導線zにIsin(wt)を流したときに、円形回路を貫く磁束はいくらか。(導線から円の中心の距離はL(>a)です)
という問題です。ファラデーの電磁誘導か何かの問題）

{ 1/(L-t) * √(a*a - t*t) } dt 　積分範囲は-aからaまでです。
部分積分や、置換積分などいろいろ試してみましたが
まず解ける気がしません。
1項目目は微分しても積分しても変数が消えませんし、２項目も同様です。
なにやら積分の公式があるらしくて、それを使えば解けるそうですが
それも解りません。
分かる方、解き方を教えてください。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

ANo.1で「定積分は出ません」と書いたのは間違いでした。ちゃんと出ます。

enjoy33322さんの計算法は分かりました。円形コイル内部を貫通する全磁束は
　　Φ = ( μ0*I/π )*∫[ t = - a ～ a ] √( a^2 - t^2 )/( L - t ) dt
　　　 =( μ0*I/π )*π*{ L - √ ( L^2 - a^2 ) }
　　　 = μ0*I*{ L - √ ( L^2 - a^2 ) }
となって ANo.2 と一致します。

（定積分の計算法）
t = a*cosθ （0 ≦ θ ≦ π）とおくと
　　　√( a^2 - t^2 ) = a*sinθ
　　　dt = -a*sinθ dθ
積分範囲はπ ～ 0 なので
　　　∫√( a^2 - t^2 )/( L - t ) dr
　　　= ∫[ θ = 0 ～ π ] ( a*sinθ)^2/( L - a*cosθ） dθ
　　　= ∫[ θ = 0 ～ π ] { a^2 - (a*cosθ)^2 }/( L - a*cosθ） dθ
　　　= ∫[ θ = 0 ～ π ] { a^2 - L^2 + L^2 - (a*cosθ)^2 }/( L - a*cosθ） dθ
　　　= ∫[ θ = 0 ～ π ] { a^2 - L^2 + ( L + a*cosθ )*( L - a*cosθ） }/( L - a*cosθ） dθ
　　　= ∫[ θ = 0 ～ π ] { ( a^2 - L^2 )/( L - a*cosθ）+ L + a*cosθ } dθ
　　　= π*L - ( L^2 - a^2 )*∫[ θ = 0 ～ π ] dθ/( L - a*cosθ）

第2項の積分で tan(θ/2) = s とおくと
　　　sinθ = 2*s/( 1 + s^2 )、cosθ = ( 1- s^2 )/( 1 + s^2 )、dθ = 2*ds/( 1 + s^2 )
だから
　　　 ∫[ θ = 0 ～ π ] dθ/( L - a*cosθ )
　　　　= ∫[ s = 0 ～ ∞ ] 2*ds/{ ( 1 + s^2 )*{ L - a*( 1 - s^2 )/( 1 + s^2 ) }
　　　　= ∫[ s = 0 ～ ∞ ] 2*ds/{ L*( 1 + s^2 ) - a*( 1- s^2 ) }
　　　　= ∫[ s = 0 ～ ∞ ] 2*ds/{ L - a + ( L + a )*s^2 }

ここでさらに s = √{ ( L - a )/ ( L + a ) }*tanα とおけば
　　　L - a + ( L + a )*s^2 = ( L - a )*{ 1 + (tanα)^2 }
　　　ds = √{ ( L - a )/ ( L + a ) }*{ 1 + (tanα)^2 }*dα
だから
　　∫[ s = 0 ～ ∞ ] 2*ds/{ L - a + ( L + a )*s^2 }
　　　　= ∫[ α = 0 ～ π/2 ] 2*dα/√{ ( L - a )*( L + a ) }
　　　　= π/√( L^2 - a^2)
つまり
　　　∫[ θ = 0 ～ π ] dθ/( L - a*cosθ） = π/√( L^2 - a^2)

したがって
　　　∫√( a^2 - t^2 )/( L - t ) dr
　　　= *L - ( L^2 - a^2 )*∫[ θ = 0 ～ π ] dθ/( L - a*cosθ）
　　　= π*L - ( L^2 - a^2 )*π/√( L^2 - a^2)
　　　= π*L -π*√ ( L^2 - a^2 )
　　　= π*{ L - √ ( L^2 - a^2 ) }

お礼

お礼遅くなりました。
とても丁寧に書いてくださってありがとうございます。
おかげさまで問題を解くことができました。

ありがとうございました。

回答No.2

inara1

この問題は、最終的に以下の導体系の相互インダクタンスを求めるものではないですか？

　　　 z （直線状導体）
　　　│
　　　│　　　○　円形コイル（半径 a < L ）
　　　├- L -┤
　　　│

下図のように、円形コイルの中心を O とし、点Oからの距離が r 、角度が θ にある円形コイル内部の点P（r, θ）に生じる磁界 H は、直線状導体 z に電流 I を流したとき

　　　z　　　　　　　　　　P
　　 │　　　　　　r　 ／
　↑│　　　　　　／　θ
　 Ｉ ├─── O ──
　　 │← L →│

　　　H = I/{ 2*π*( L + r*cosθ ) }
で表わされます（磁界の方向はコイル面に垂直）。　点P近傍の微小面積 dS = r*dr*dθ を貫通する磁束 dΦ は
　　　dΦ = μ0*H*dS = μ0*H*r*dr*dθ = ( μ0*I )/( 2*π )*r/( L + r*cosθ ) dr dθ
となります（μ0 は周囲の透磁率）。したがって円形コイル内部を貫く全磁束 Φ は
　　　Φ = ∫ [ 円形コイル内部 ] dΦ
　　　　 = ( μ0*I )/( 2*π )*∫∫ [ r = 0 ～ a ] [ θ = 0 ～ 2*π ] r/( L + r*cosθ ) dr dθ
　　　　 = μ0*I *∫ [ r = 0 ～ a ] r / √( L^2 - r^2 ) dr
　　　　 = μ0*I *{ L - √ ( L - a^2 ) }
相互インダクタンス M の定義は
　　　Φ = M*I
なので
　　　M = Φ/I = μ0*{ L - √ ( L - a^2 ) }

補足

なるほど。僕の場合の積分は
導線から円までの距離をrとして(L-a <= r <= L+a)
その距離ｒのところから導線に平行な線を引いて、その線が円と交わる2点間の距離をAとし、微小面積がA*dr よって微小面積を貫く磁束はB*A*dr。B=μo*Isin(wt)/2*π*r
これをrについて(L-a <= r <= L+a)の範囲で積分してます。
これの置換積分が(L-a=t)質問の積分の形になってます。
それでrに関係なく、積分の外に出せる定数は質問には省いてます。

>　　　Φ = ∫ [ 円形コイル内部 ] dΦ
>　　　　 = ( μ0*I )/( 2*π )*∫∫ [ r = 0 ～ a ] [ θ = 0 ～ >2*π ] r/( L + r*cosθ ) dr dθ
>　　　　 = μ0*I *∫ [ r = 0 ～ a ] r / √( L^2 - r^2 ) dr
>　　　　 = μ0*I *{ L - √ ( L - a^2 ) }

おそらく答えは同じになるかと思いますが、積分ができなくて困ってました。
また、最終的には回路を貫く磁束から、回路に発生する起電力、回路を流れる電流を求めるとう問題です。

回答No.1

inara1

不定積分は出ます（でも定積分は出ません）。t = ±a というのがそもそもおかしいです。t は時間なのに a は距離です。

導線 z と同じ平面に円形回路あって、導線から円の中心の距離はL (>a) というのは以下のような配置ですか？

　───┬─ z
　　　　　 │L
　　 ○─┴
　　円形回路（半径a）

円形回路には電流は流れていないのですか？　円形回路には電流は流れていな状態で、導線 z に I*sin( ω*t ) の電流を流したときに、円形回路を貫く磁束はいくらかという問題なら簡単です（円内のどこかで磁束は違いますが）。正確な問題文を教えてください。

補足

tというのは置換積分で使った変数なので、別に時間というわけではないです。問題文は大体御察しの通りで、円形回路には電流は流れていません。導線からの距離r(L-a <= r <= L+a)のところでの円形回路を貫く磁束を求めて、それを円の直径の長さだけ積分して全体を貫く磁束を求めるというやり方をしてます。
すると積分の式は{ 1/r * √(a*a - (L-r)*(L-r)) } dr
(rはL-aからL+aまで)　これを(t=L-r)で置換積分して質問のような形にしました。