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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:積分 体積の問題)

積分問題の解法と間違い

このQ&Aのポイント
  • xyz空間において、2点A(2,0,0),B(0,2,4)を結ぶ線分Lをz軸の周りに回転して出来る曲面をKとする。
  • Kと2平面z=0、z=4とで囲まれた領域の体積Vを求める問題で、解法としてはOP=OA+tABを用いて計算する方法があります。
  • しかし、間違いが見つかりました。正しい解法では、OP=OA+tAB/4とする必要があります。

質問者が選んだベストアンサー

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  • info22_
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回答No.3

No1,No2です。 ANo2の補足の質問について >z=4t なので微分をとれば dz=4dt となります。 tの積分範囲は0から1までです。 求める体積の立体のzの範囲は0から4までです。 ANo.1で書いた別解の方のzで積分するケースの場合は zの積分範囲は0から4までです。 積分は積分する変数で統一(tまたはzのどちらかに)しないと正しく積分できません。 ANo.1の積分の式(tによる積分、zによる積分)とANo.2の図と比較しながら解答を熟読すれば理解出来るかと思います。

doragonnbo-ru
質問者

お礼

そうだった・・・。 ありがとうございます!!!

その他の回答 (2)

  • info22_
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回答No.2

#1です。 A#1の添付図です。 求める体積の立体のイメージを掴むのに役立つかと思います。

doragonnbo-ru
質問者

補足

なぜdz=4dtですか?確かにz=4tですが・・・

  • info22_
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回答No.1

>上の解き方で、どこが間違っているのか見当がつきません。 >z=4t dz=4dt >π[(2-2t)^2+(2t)^2]これを0~1で積分して ∫π[(2-2t)^2+(2t)^2]dz=8π/3と解きました。」 dz=4dtの4を忘れているだけです。 ∫[0,1]π{(2-2t)^2+(2t)^2} 4dt とすれば 「4*8π/3=32π/3」 となります。 zで積分するなら 4t=z,2t=z/2なので ∫[0,4]π{(2-(z/2))^2+(z/2)^2}dz=32π/3 としても同じ結果となります。