コンデンサーに交流電流が流れている場合

質問

導線に流れている電流をi=Isinωtとすると、(Iは振幅)
コンデンサーに蓄えられている電荷Qは次のような計算で
単純に求めてもいいものでしょうか。
i=(dQ/dt)=Isinωt 　両辺をtで積分して
Q=∫Isinωt dt = (-1/ω)Icosωt

積分区間などは考えなくてもいいものなのでしょうか？
また、なぜ積分して求められるのかがちょっと理解しにくいです。
また、このマイナスはどう考えたらいいのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.5

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

ごめん、No.4は語弊がある。

R、C、Lの値によっては過制動にも臨界制動にもなります。
http://www.quant-ph.cst.nihon-u.ac.jp/~takasugi/jikken/note/node35.html

つまり、振動しない場合があるんですね。

回答としては何か違うかもしれないから、違ったら補足いれてください。

回答No.6

178-tall

>導線に流れている電流をi=Isinωtとすると、(Iは振幅) コンデンサーに蓄えられている電荷Qは次のような計算で 単純に求めてもいいものでしょうか。
>i=(dQ/dt)=Isinωt 　両辺をtで積分して Q=∫Isinωt dt = (-1/ω)Icosωt

前提式をみる限り、正弦波印加時の定常状態におけるハナシみたいですネ。

時刻 t におけるコンデンサの端子間電圧 Vc(t) は、
　Vc(t) = -(I/ωC)*cos(ωt)
らしい。

ならば、時刻 t のコンデンサの電荷 Qc (t) は、
　Qc (t) = C*Vc(t) = -(I/ω)*cos(ωt)
…という勘定で「いいのでしょう」。

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

要するに、↓みたいなことがやりたいのね。
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=5612&PHPSESSID=

因みに、リンクの式はあくまで理論的な式。
実際には、線路抵抗が必ずあるから減衰振動になります。

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

電流の定義が、「単位時間当たりのある断面に流れる電荷の量」と定義されます。
そして、観測可能な基本的な量は、単位系:MKSA単位系(SI単位系)でもわかる様に、電流が最も基本です。

すなわち、電荷の微分であるにもかかわらず、観測された電流を元に電荷量を「推測する」必要があります。
積分区間は、例えば、t1という時間からt2という時間までを積分区間にとった場合、t1からt2までの間に電源側(コンデンサに充電する側)からコンデンサにどれだけ電荷が蓄えられたかを表します。

不定積分としているのは、ある一般的な時間tでの値を知りたいからです。また、通常は
Q=∫Isinωt dt = (-1/ω)Icosωt+C (C:積分定数)
とするべきです。

ではなぜ積分定数を0としているか？電源電荷とコンデンサ電荷の量(一般には電位という形で表される)の差が0の場合は、電源-コンデンサ間に電界が発生せず、結果的に電流が流れません。(J=σE、またはI=V/Rとして知られているオームの法則より)
通常、暗黙の了解で、電位は地面(アース)を基準に取ります。地球を構成する原子、分子群は対象の系よりも遥かに母体数が多く、多少の電荷の増加によって電位が変化しません。2線式の送電であれば、片方は0Vの電位を持つアースへ接続しています。このため、コンデンサは放電され、Qの初期値は0となります。これらの理由によりC=0としています(電源を入れた瞬間は過渡現象と言って、別の考え方が必要になります)。C≠0の場合は、最初に帯電したコンデンサを用意して、オフセットの乗った電源であれば可能です。
積分区間に関してですが、周期関数は周期分だけ時間をずらしても全く同じ波形となることから、t1を0として計算して構いません。

こうして細かく見ていくと、電流の流入⇒コンデンサ電極の電荷の増加。電流の流出⇒コンデンサ電極の電流の現象。と見て行けばいいのです。
すると、t=0に於いて電流が流れていなく、時間と共に電流が増加するならば、電荷は増加する方向に進みます。時間をt=0から少しさかのぼると、マイナスとなって電流が流出します。つまり、t=0で電荷が最も少ない状態になります。(負電荷が最もコンデンサ正極へ集まった状態)

わからなかったら、補足ください。

お礼

ご回答ありがとうございます。皆さんのご協力でだんだん理解できてきました。
実はコイルとコンデンサーの回路で起こる電気振動について考えておりました。
コイル、スイッチ、コンデンサーの回路を考えます。
コンデンサーに初めQ[C]の電荷があり、スイッチを閉じると電気がコイル側に流れ
出して、電気振動が起こりますよね。スイッチを閉じた瞬間をt=0とします。
このとき電流はI=Asinωt・・・(1)といった式であるかどうかは分からないですが、仮に
このような式であるとすると、
ここで時刻tでのコンデンサーの電荷をqとすると、キルヒホッフ第2法則より、
q/C+L(dI/dt)=0　つまり、q/C＝-L(dI/dt)=-LωAcosωt
よって、q＝-L(dI/dt)=-LωCAcosωt
この両辺をtで微分したものが電流であるので、
dq/dt=I=Lω^2CAsinωt・・・(2)
(1)(2)を比較すると、Lω^2C=1 つまりω=1/√CLとなり、
周期T=2π√CL　が求められます。
実験によってこの周期が等しいことが確かめられれば、電流は(1)式つまりサインカーブで変化
することがたぶん正しいということになります。
なんとか積分を使わずに周期を求めて見ましたが、理論上間違いはないでしょうか。
もちろん実験で周期がT=2π√CLとなったからといって、電流がI=Asinωtであるとは
ただちにいうことはできないかもしれませんが・・・
電気振動の周期を求める過程はいくら参考書、教科書を探しても見当たらないので
自分で考えてみました。何でこの過程を載せないのかと考えると、ひょっとしてI=Asinωt
ではない、何か特殊な関数になるから載せられないのかとも思ったのですが、考えすぎ
でしょうか。こればっかりは大学で物理を習っていないのでわかりません。

以上ご回答いただければ幸いです。

コイルの両端の電位差は-L(dI/dt)=-LωAcosωt・・・(1)

回答No.2

over_the_galaxy

積分する理由
電流は単位時間に面を通過する電荷量、つまり電荷Qの時間微分です。だから電流を積分すれば電荷になります。

積分区間
積分区間は設定せず、不定積分として積分定数を設定する方がやりやすいと思います。つまり
Q= (-1/ω)Icosωt+C C:積分定数
Cは初期条件から決定します。今回の問題では初期条件がないようなので、このままです。

cos前のマイナス符号
-cos(x)=sin(x-90°) を使い電流と比較します。

お礼

ご回答ありがとうございます。自分でもう一度よく考えてみます。

回答No.1

shintaro-2

>導線に流れている電流をi=Isinωtとすると、(Iは振幅)

同じ文字があると間違えやすいので

i=Asinωｔとしましょう。

>積分区間などは考えなくてもいいものなのでしょうか？

駄目です。
例えば０からｔ（πとか）

>また、なぜ積分して求められるのかがちょっと理解しにくいです。

電荷は電流が流れないとたまらないからです。

>また、このマイナスはどう考えたらいいのでしょうか？

導線に流れる電流と、コンデンサに流れる電流とでは位相が異なるということです。

お礼

ご回答ありがとうございました。自分でもう一度よく考えてみます。