直流電流が作る磁場内のコイルについて

質問

画像の問題についてです。
コイルの一辺を導体棒のように見立てて、誘導起電力を求める方法で、分からないところがあり、質問させていただきます。
導線ABでの磁束密度B(x)=μ₀I/2πx
導線CDでの磁束密度B(x+a)=μ₀I/2π(x+a)
になるところは分かります。

導体棒で考える場合
導線ABに生じる誘導起電力の大きさ
Vab=vB(x)a=μ₀vIa/2πx

ファラデーの法則で考える場合
ΔΦ=B(x)avΔt/
より
Vab=ΔΦ/Δt=vB(x)a=μ₀vIa/2πx

となりますが、なぜでしょうか。

導体棒に生じる誘導起電力はその導体棒を貫く磁束密度を考えるのでしょうか。

ファラデーの法則で解く場合、
このコイルが動いた分のΔΦを考える時、磁束密度が一定ではない所を動くので、場所によって磁束密度が変わりますが、xの位置だけの磁束密度B(x)を考えるだけでいいのでしょうか。動いた範囲で積分して全部のB(x)を考える必要はないのでしょうか。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

＞方法1.2は上記のことで合っていますでしょうか。

合っています。まさにその通りです。

また、エネルギーの観点から
「外力Fによる仕事率」＝「コイルで消費される電力」
となることも正しいです。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

＞xの位置だけの磁束密度B(x)を考えるだけでいいのでしょうか。動いた範囲で積分して全部のB(x)を考える必要はないのでしょうか。

方法1
xの位置の磁束密度 B(x) と、x+aの位置の磁束密度 B(x+a) 2箇所の誘導起電力を考える
方法2
xの位置からx+aの位置まで積分して、コイルを貫く磁束Φを求め、それを時間tで微分する

どちらでも同じ結果が得られます。
高校物理では、積分を避けるため方法1で説明することが多いです。

補足

返答していただきありがとうございます。

方法1
ローレンツ力から考える誘導起電力ですよね。
辺ABで考えた時
1. 導体棒が速さvで動く。
2. 導体棒の自由電子がローレンツ力F=evB(A→Bの向き)を受ける。
3. 導体棒の両端が帯電する。Aが正に、Bが負に。電場E(A→Bの向き)に発生。その電位差が誘導起電力。

方法2
ファラデーの電磁誘導の法則の公式を利用する。

方法1.2は上記のことで合っていますでしょうか。

あともう一つお伺いしたいのですがよろしいでしょうか。

コイル全体が磁場から受ける力の大きさを求める時の計算方法なのですが。
エネルギー保存則で解く時の方法が合っているのか伺いたいです。

【コイル】系
コイルがされる力
・電磁力 辺AB
・電磁力 辺DC
・外力F

コイル全体の抵抗r[Ω]
コイルを流れる電流i[A] とすると、
エネルギー保存則より、
単位時間の変化で考えると、
1/2mv²+電磁力の仕事+外力Fの仕事+ジュール熱=1/2mv²
⇔0=外力Fの仕事+ジュール熱
⇔0=Fv+(－ri²)
Fv=ri²
からFを求め、コイル全体が受ける力を求めたいのですが、エネルギー保存則の立て方は合っていますでしょうか。

回答No.1

ohkawa3

ABCDで作るループが、電流Iが流れる直線導体から遠ざかることで、ループに鎖交する磁束が減少します。磁束の変化（減少）によってABCDで作るループにどれだけの起電力が発生するかを問うている問題のように思います。

補足

返答していただきありがとうございます。
まだまだよく理解できていません。
すみません。

そのような問題だと、ただxの位置の磁束密度B(x)を考えればいいだけなのでしょうか。