無限区間積分とln(i)について

質問

(1/sqr(2π)σ)exp(-x^2/2σ^2)
を-∞から+∞まで積分せよという問題が解けません。
ここで、σは単なる定数なので、(1/sqr(2π)σ)は無視して計算をしようと思いました。
無限区間ですが、この場合、偶関数なので0から+∞まで積分して、2倍すればいいと考えています。つまり積分区間を0からtとして、出てきた結果を2倍し、tを+∞に近づけるという方法で解けばいいと思うのです。
しかし、肝心のexp(-x^2/2σ^2)の積分方法がわからず困っています。どうすればいいのか、教えてください。
また、z=ln(i)をre^(iθ)の形で表せという問題も出ています。
re^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)であることは了解しているので、z=2-2iをre^(iθ)の形で表す問題は解けましたが、ln(i)についてはさっぱりわかりません。Taylar展開して、似たような形になればと思ったものの、うまくいきませんでした。log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+・・・と展開できるので、これにx=-1+iを代入してみたわけです。(-1+i)^(4n)=(-1)^(2n-1)・4^nというように、比較的きれいになることが確認できましたが、これがre^(iθ)にむすびつきません。これについても、アドバイスやご回答をお願いします。

回答No.1

mame594 · ベストアンサー

１つ目は平均値0，標準偏差σの正規分布の全範囲確率ですから勿論答えは1です．
（一般的には平均値μを考慮しxのところがx-μだと思いますが）
二重積分を利用した典型的な解き方の方針だけを以下に示します．
１．z=x/σで規格化（積分範囲は変わらない）
２．求める積分の値をＡとおく．
３．A^2を作れば同じ積分の掛算になるが，zをそれぞれx,yに変数変換し積分の掛算にする．
４．変数が異なるので２重積分として一つにまとめられる．
５．積分範囲は直交座標x,yの全範囲になるが，極座標に変換しr,θの積分範囲に置き換える．
６．この際面積要素はdxdy=rdrdθとなるので注意．
７．後は簡単な積分になる．

２つ目はよく分かりませんが，一般的な複素対数の性質から，
ln(i)=ln|i|+iarg(i)=ln(1)+(π/2+2nπ)I=(2n+1/2)πi　　(n:整数)
となり，これを無理やり指数の形に持っていく意味が不明です．

補足

ご回答ありがとうございます。
1つ目の質問についてですが、
>３．A^2を作れば同じ積分の掛算になるが，zをそれぞれx,yに変数変換し積分の掛算にする．
とは、どういうことでしょうか?
yが何を指しているのかがわかりません。
すみませんが、3までを式に示していただけるとありがたいです。極座標変換は自分で頑張ります。

回答No.4

mame594

複素数表示のところを追記します．
どうも質問者の方の前のスレッドには明らかな間違いがあるようですので．
ln(i)=(2n+1/2)πi　　(n:整数)　となります．
これはみていただいたら分かると思いますが，純虚数で虚軸の上を2πごとに点在するわけです．絶対値はr=|2n+1/2|πですので，無理やり書けば，
ln(i)==|2n+1/2|πe^((2n+1/2)πi)となりますがこんな風に書く事に意味があるのかと思っているという事です．

お礼

すみません、ありがとうございます。
今、図書館で勉強していたところです。いろいろ参考書を読んで、理解していきたいと思います。
そうですね、確かに意味のない問題だとは思いますが、でもこれで明日提出の20問ほどあったレポ-トも完璧になりました。本当にありがとうございました。

回答No.3

mame594

計算できてよかったですね．さて，１．の計算でｘ→zに変数変換するとき，頭のσはキャンセルされているはずです．

複素数の表示については私自身は問題の意味があまりないと思っておりコメントするだけの力もありません．

お礼

あぁ、なるほど、わかりました。とても助かりました。
本当にありがとうございました!!

回答No.2

mame594

積分範囲は省略しています．
A^2=(1/(2π))(∫exp(-z^2/2)dz)^2
　　=(1/(2π))(∫exp(-x^2/2)dx)(∫exp(-y^2/2)dy)
　　=(1/(2π))∫∫exp(-(x^2+y^2)/2)dxdy
この後極座標に変換

補足

ありがとうございます。極座標変換して計算したところ、1になりました。A^2=1よりA=1となるんですね。ただ、問題文では、
expの前に、1/(sqr(2π)σ)となっていたので、2乗すると1/((2π)σ^2)となるのではないでしょうか。σはどこにいったのですか?σを考慮すると、答えは1/σということになるのでしょうか。
また、ln(i)についてですけど、(2n+1/2)πiとなるところまでは了解したのですが、それをre^(iθ)の形にできません。
re^(iθ)=r(cosθ+isinθ)より
(2n+1/2)π=rsinθ
よって、θ=arcsin((2n+1/2)(r/π))でよろしいのですか?
何度も長い質問、申し訳ありませんが、ご返答お願いいたします。