導関数の問題です。

質問

関数f(x)がｘで増加しているならば　f '(x)>=0,

xで減少しているならば　f '(x) <=0

となることを証明せよ。

というものです。
どなたかお願いします。

回答No.3

alice_44

見落としやすいことですが、質問の内容が成り立つのは
f(x) が、その x で微分可能な場合だけです。
f(x) = 2x +｜x｜ が x = 0 でどうなるか、
考えてみましょう。

回答No.2

info22_

h>0として
f'(x)=limit[h→+0]{f(x+h)-f(x)}/h
または
f'(x)=limit[h→+0]{f(x)-f(x-h)}/h

f(x)がｘで増加しているならば
　x-h<x<x+h ⇒　f(x-h)<f(x)<f(x+h)　⇒ f(x+h)-f(x)>0,f(x)-f(x-h)>0
なので
f'(x)=limit[h→+0]{f(x+h)-f(x)}/h≧0
または
f'(x)=limit[h→+0]{f(x)-f(x-h)}/h≧0

同様に
f(x)がｘで減少しているならば
　x-h<x<x+h ⇒　f(x-h)>f(x)>f(x+h)　⇒ f(x+h)-f(x)<0,f(x)-f(x-h)<0
なので
f'(x)=limit[h→+0]{f(x+h)-f(x)}/h≦0
または
f'(x)=limit[h→+0]{f(x)-f(x-h)}/h≦0

（証明終わり）

回答No.1

mxf27288

f '(x)は関数f(x)の接線の傾きとイメージじしてください。（教科書の関数の増減の所を参照のこと）
そうすると
ある区間で関数f(x)が増加している場合、その区間ｘでのf '(x)はどうなりますか？
又
ある区間で関数f(x)が減少している場合、その区間ｘでのf '(x)はどうなりますか？
f '(x)が右上がりの場合　正、右下がりの場合　負ですね。
以上を参考に考えてみてください。