- ベストアンサー
関数
関数f(x)=x^3-3ax^2+3bx-2 が区間 0≦x≦1 で常に増加するとき、点(a,b)の存在する範囲を求めよ。 単調増加になればいいのだな、と考え微分をして f(x)=3x^2-6ax+3b とそこまでやったのですが、進まず… どうかよろしくお願いします。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
回答丸投げは禁止されているのでヒントだけ。 ある関数がある区間で単調増加というのは、考えている区間で、関数を微分したものが常に正の値を持つということです。 SAKO9623 さんがやったのは f(x) = x^3 - 3*a*x^2 + 3*b*x - 2 を微分するところまですね。 ｆ ' (x) = 3*x^2 - 6*a*x + 3*b これを ○^2 + △ という形に変形すれば ｆ ' (x) = 3*( x - a )^2 + 3*( b - a^2 ) --- (1) となります。これはx = a を軸とした下に凸の放物線ですから、x = a のときに最小値 3*( b - a^2 ) をとります。 もし問題が「全てのxで f(x) が単調増加となる a, b の範囲を求めよ」というものならば、f ' (x) がどのような x に対しても正であればいいので、f ' (x) の最小値 3*( b - a^2 ) が正であればいいことになります。つまり、 b > a^2 というのが求めるa, b の範囲です（横軸に a、縦軸に b をとったとき、b = a^2 という放物線より上側の範囲にある領域になります）。 しかしこの問題は「区間 0≦x≦1 で常に増加する」という条件がついているので、上の a, b の範囲も解の中に含まれますが（ 区間 0≦x≦1 だけでなく全ての x について成り立つので）、それより広い範囲が解になるという予想がつきます。ではそれはどうやって求めるのでしょうか。 「区間 0≦x≦1 で f (x) が常に増加する」というのは、f ' (x) が取りうる形として、以下の３つの場合が考えられます。 f ' (x) ・ ↑ ・ ・ │ ・ ・ │ ・ ─ ・ ─ ・──┴→ x ・ 0 1 （１） x ≦ 0 の領域で f ' (x) が最小となり、0 < x では 0 < f ' (x) f ' (x) ・ ↑ ・ ・ │ ・ ・│ ・ ───┴ ・─┴→ x 0 1 （２） 0 < x < 1 の範囲で f ' (x) が最小となり、その範囲で 0 < f ' (x) f ' (x) ↑・ ・ │ ・ ・ │ ・ ・ ───┴── ・─ ・ → x 0 1 ・ （３） 1 ≦ x の領域で f ' (x) が最小となり、x < 1 では 0 < f ' (x) まず（１）のような状況になるのは、 式(1)の形を見れば分かるように、a ≦ 0 の場合です（放物線の軸は x = a になります）。このとき、ｆ ' (0) = 3*a^2 + 3*( b - a^2 ) = 3*b > 0 となればよいので、0 < b が解になります。つまり a ≦ 0 かつ 0 < b --- (2) というのがこの場合の解の範囲です。 一方、（２）の状況になるのは、0 < a < 1 の場合です。f ' (x) の最小値は、式(1)の形を見れば分かるように、3*( b - a^2 ) ですから、これが正であるためには、０ < 3*( b - a^2 ) つまり、 a^2 < b が成り立つときです。つまり 0 < a < 1 かつ a^2 < b --- (3) というのがこの場合の解の範囲です。 最後に、（３）の状況になるのは、1 ≦ a の場合です。このとき、0 < ｆ ' (1) となれば良いわけです。その条件式を ◎ < b とすれば 1 ≦ a かつ ◎ < b --- (4) というのがこの場合の解の範囲です。 したがって、問題文の解 (a, b ) の範囲は、上式(2)-(4)の３つの範囲をつなぎ合わせた領域になります（ a の範囲で分けているので各範囲は重なりません）。横軸に a、縦軸に b をとったグラフを描いて a, b の範囲を考えると分かると思います。
その他の回答 (1)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
条件反射で微分するからわからんのじゃ。まずはグラフを書くがよい。
お礼
丁寧に答えていただき、感謝しております。これから解き直ししてみたいと思います。回答ありがとうございました。