級数の絶対値

質問

実数の絶対値 |x| は、x>0 ならば x であり、x<0 ならば -x であると定義されます。
無限級数の絶対値を考えたとき、
0.5 + Σ[i=1,∞](-1)^i
は収束しませんが、その絶対値は 0.5 であると言えますか？
それとも、級数が正であるとも負であるとも言えないので未定義ですか？

回答No.3

jmh · ベストアンサー

> ＞例えば、級数Σ(１/２)^ⅰとは１のことですか？
>
> そう…ではないんですか？
> そう思ってました。
>
ならば、「級数の絶対値を考える」というより「普通の絶対値を考える」だと思います。例えば、級数０．９＋０．０９＋０．００９＋…と級数Σ(１/２)^ⅰは「違う級数に見える」んですけど、同んなじ１ってコトですね。

お礼

つまり、１も２／２も級数０．９＋０．０９＋０．００９＋…と級数Σ(１/２)^ⅰも同じ数なんですね。
収束しない級数は数じゃないので、絶対値は求まらないということですね。

ありがとうございました。

回答No.2

jmh

> 無限級数の絶対値を考えたとき、
>
はい、考えてみますが…。
「級数」とは何ですか？
例えば、級数Σ(１/２)^ⅰとは１のことですか？
逆に１は「級数」ですか？

お礼

お礼が遅くなり大変失礼しました。
（メールが届いてなかったんですが、理由は不明です）

＞例えば、級数Σ(１/２)^ⅰとは１のことですか？

そう…ではないんですか？
そう思ってました。

＞逆に１は「級数」ですか？

１という「数」の表し方にも色々あるので、「級数」もその一つだと思ってました。（収束する場合）

ありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

収束しなければ
そもそも値ですらないので
絶対値などはない．

お礼

お礼が遅くなり大変失礼しました。
（メールが届いてなかったんですが、理由は不明です）

未定義が普通なんですね。
数学的帰納法で考えて、どうなるんだろうと思ったんですが、それは誤りみたいですね。
つまり、次の等式は成り立たない。
|lim[n→∞]Σ[i=1,n]a_i|=lim[n→∞]|Σ[i=1,n]a_i|

ありがとうございました。